Математика. Гайворонская С.А. - 22 стр.

                                              22
Глава 3. Производная. Дифференциал.

       §1. Понятие производной.

      Пусть на некотором промежутке Х задана функция y = f (x) . Возьмем
произвольную точку x0 ∈ X и придадим аргументу х в точке x0 произволь-
ное приращение ∆x , так чтобы x0 +∆x ∈ X .

Определение 1. Приращением функции y = f (x) в точке x0 , отвечающему
приращению ∆x , будем называть число ∆ y = f ( x0 +∆х) − f ( x0 ) .

Определение 2. Производной функции y = f (x) в точке x0 называется пре-
дел отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆x → 0 ,
                                       f ( x0 +∆x) − f ( x0 )         ∆f
и она обозначается f ′(x) = lim                               = lim
                                ∆x → 0          ∆x             ∆x → 0 ∆x
     Процесс нахождения производной называется дифференцированием.
                                                                    y
      Возьмем на исследуемой кривой
(см. рисунок) две точки М и М0:                                f (x0+∆x)                    M0
M (x0 , f (x0 )), M 0 (x0 +∆x, f (x0 +∆x )). Про-
                                                                   ∆f
ведем через М и М0 секущую, обра-
зующую с осью 0х угол ϕ .                                          f (x0)
                                                                                M
                                                                                            N
                       ∆f
     Из ∆ MM0N tgϕ = .
                       ∆x                                                   ϕ        ∆x
                                                                   α
     Устремим ∆x → 0 . При этом точка                                   0       x0        x0+∆x
                                                                                                  x
М0 будет скользить по кривой, прибли-
жаясь к точке М, а секущая ММ 0, постепенно меняя свой угол наклона,
будет стремиться к некоторому «предельному» положению, называемому
касательной к кривой в точке М. А значит угол ϕ → α .
    Геометрический смысл производной: f ' ( x ) в каждой точке х равна
тангенсу угла наклона касательной к графику f ( x ) :
                                                            ∆f
                               tgα = lim tgϕ = lim             = f ′( x) =k ,
                                     ∆x → 0        ∆x → 0   ∆x
где k – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f ( x ) , в
точке с координатой x0 .
Уравнение касательной к графику функции y = f ( x ) имеет вид:
                              y ( x ) = y ( x0 ) +y ' ( x )( x −x0 ) .
Определение 3. Функция y = f ( x ) называется дифференцируемой в точке
x0 , если ее приращение в этой точке можно представить в виде:
                                   ∆y =A∆x +α (∆x ) ∆x ,
где А- некоторое число, не зависящее от ∆x ;
      α ( ∆x ) – бесконечно малая функция, при ∆x → 0 .