Математика. Гайворонская С.А. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

24
2ln2
cos
2
1
3
2
xx
x
x
ey ++−=
II. Нахождение производной произведения, частного двух функций .
5. xey
x
sin=
(
)
(
)
(
)
xxexexexexey
xxxxx
cossincossin'sinsin'' +=+=+=
6.
x
x
y
arcsin
=
()
22
2
2
2
2
1
arcsin1
arcsin
1
1
'arcsin'arcsin
'
xx
xxx
x
xx
x
x
xxxx
y
−
−−
=
−
−
=
⋅−
=
7. arctgxxy
3
=
2
32
1
1
3'
x
xarctgxxy
+
+=
III. Нахождение производной сложной функции.
Пусть
G
- сложная функция, т .е.
(
)
= , где
(
)
tx ϕ = . Тогда
1.
(
)
(
)
(
)
(
)
1
''
nn
GxnGxGx
−
=⋅⋅
7.
()
()
()
()
2
1
arcsin''
1
GxGx
Gx
=⋅
−
2.
(
)
(
)
(
)
(
)
cos'sin'
GxGxGx
=−⋅
8.
()
()
()
()
2
1
arccos''
1
GxGx
Gx
=−⋅
−
3.
(
)
(
)
(
)
(
)
xGxGxG 'cos'sin ⋅=
9.
()
()
()
()
2
1
''
1
arctgGxGx
Gx
=⋅
+
4.
()
()
()
()
2
1
''
cos
tgGxGx
Gx
=⋅
10.
()()
()
()
xG
xG
xarcctgG '
1
1
'
2
⋅
+
−=
5.
()
()
()
()
2
1
''
sin
ctgGxGx
Gx
=−⋅
11.
(
)
(
)
(
)
(
)
xGee
xGxG
'' ⋅=
6.
(
)
(
)
(
)
(
)
xGaaa
xGxG
'ln' ⋅=
т . е . каждый раз производная функции умножается на производную ар -
гумента.
8.
xy 6sin
=
(
)
(
)
xxxy 6cos6'6'6sin' ==
9.
(
)
3
2
1+−= xxy
(
)
(
)
(
)
(
)
1213'113'
2
22
2
2
−+−=+−⋅+−= xxxxxxxy
10.
xy cosln
=
() ()
tgxx
x
x
x
y −=−=⋅= sin
cos
1
'cos
cos
1
'
11. xxy sin
5
⋅=
+=+=+=+⋅=
−
xx
x
xxxx
x
xxxxxxxxy cossin
5
1
cossin
5
1
cossin
5
1
)'(sinsin)'(
55
5
4
5
5
4
55
12.
(
)
2
1
ytgx
=+
)1(cos
2
)'1(
)1(cos
1
22
2
22
+
=+⋅
+
=
x
x
x
x
y 
                                                        24
                        1
             y =e x −      2
                               +x3 +2 x ln 2
                     2 cos   x
II.      Нахождение производной произведения, частного двух функций.
        5. y =e x sin x
                    ( )
           y ' = e x 'sin x +e x (sin x )' =e x sin x +e x cos x =e x (sin x +cos x )
                arcsin x
        6. y =
                     x
                                                       1
                                                             x −arcsin x
           y'=
                (arcsin x )' x −arcsin x ⋅ x'
                                                 =   1 − x 2
                                                                           =
                                                                             x − 1 −x 2 arcsin x
                              x2                             x2                  x 2 1 −x 2
        7. y = x3arctgx
                                           1
            y ' =3 x 2 arctgx +x 3
                                         1 +x 2

 III. Нахождение производной сложной функции.
     Пусть G - сложная функция, т.е. G =G ( x ) , где x =ϕ (t ) . Тогда
                                                                                                    1
  1. (G n ( x )) ' =n ⋅G n−1 ( x ) ⋅G ' ( x )                7. (arcsin G ( x )) ' =                        ⋅G ' ( x )
                                                                                             1 −G 2 ( x )
                                                                                                        1
  2. (c os G ( x ))' =−sin G ( x ) ⋅G ' ( x )                8. (arccos G ( x )) ' =−                          ⋅G ' ( x )
                                                                                                1 −G 2 ( x )
                                                                                             1
  3. (sin G (x ))' =cos G (x )⋅ G ' (x )                     9. (arctgG ( x )) ' =                    ⋅G ' ( x )
                                                                                         1 +G 2 ( x )
                         1                                                                    1
  4. (tgG ( x )) ' =             ⋅G ' ( x )                  10. (arcctgG(x ))' =−                     ⋅ G ' (x )
                     cos G ( x )                                                           1 +G 2 (x )
                             2


                           1
  5. (ctgG ( x )) ' =− 2
                       sin G ( x )
                                   ⋅G ' ( x )                     (       )
                                                             11. e G ( x ) ' =e G (x ) ⋅ G ' (x )

  6. (a G (x ) ) ' =a G (x ) ln a ⋅ G ' (x )
    т.е. каждый раз производная функции умножается на производную ар-
гумента.
    8. y =sin 6 x
            y ' =(sin 6 x )' (6 x )' =6 cos 6 x
        9. y =(x 2 −x +1)
                                 3



                     (               ) (          ) (
          y ' =3 x 2 −x +1 ⋅ x 2 −x +1 ' =3 x 2 −x +1 (2 x −1)
                                     2
                                                                 )2


      10. y =ln cos x
                 1                   1
          y '=       ⋅ (cos x )' =       (−sin x ) =−tgx
               cos x               cos x
      11. y =5 x ⋅ sin x
                                                  4
                                          1 −                       1                                            � 1                  �
       y =( 5 x )' ⋅ sin x +5 x (sin x)' = x 5 sin x +5 x cos x = 5     sin x +5 x cos x =5                    x�      sin x +cos x �
                                          5                      5 x  4
                                                                                                                  � 5x                  �
      12. y =tg ( x +1) 2


                 1                        2x
       y=               ⋅ ( x 2 +1)' = 2 2
            cos ( x +1)
                2  2
                                      cos ( x +1)

Страницы