Математика. Гайворонская С.А. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
Глава 4. Применение дифференциального исчисления к исследова-
нию функций
§1. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема Ферма.
Пусть функция )( xfy
=
определена на интервале ),( ba и в некоторой точке
0
x этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение, т .е.
),( bax
∈
∀
, )()(
0
xfxf ≤ или )()(
0
xfxf ≥ . Тогда, если в точке
0
x существует
производная , то она равна нулю, т .е. 0)('
0
=xf .
Теорема Ролля.
Пусть на отрезке
],[ ba
определена функция
)( xfy
=
, причем:
1. )( xf непрерывна на ],[ ba .
2.
)( xf
дифференцируема на
),( ba
.
3. )()( bfaf
=
.
Тогда существует точка ),( baс
∈
, в которой 0)('
=
cf .
Теорема Лагранжа.
Пусть на отрезке ],[ ba определена функция )( xfy
=
, причем:
1. )( xf непрерывна на ],[ ba .
2. )( xf дифференцируема на ),( ba .
Тогда существует точка ),( bac
∈
такая , что справедлива формула
)('
)()(
cf
a
b
afbf
=
−
−
.
§2. Монотонность функции. Экстремум функции и его нахожде -
ние
Теорема. Если функция )( xf дифференцируема на интервале ),( ba и
0)('
>
xf
(
0)('
<
xf
), то функция возрастает (убывает) на интервале
),( ba
.
Теорема. Если функция )( xf дифференцируема на интервале ),( ba и
0)('
≥
xf ( 0)('
≤
xf ), то функция не убывает (не возрастает ) на ),( ba .
Определение. Точка
0
x называется точкой строгого локального максиму-
ма (минимума) функции
)( xf
, если для всех х из некоторой δ-окрестности
точки
0
x выполняется неравенство )()(
0
xfxf < ( )()(
0
xfxf > ) при х≠х
0
.
x
0
-
δ
x
0
+
δ
min
0
y
x
x
0
x
0
-
δ
y
x
0
+
δ
max
0
x
x
0 
                                                        26
Глава 4. Применение дифференциального исчисления к исследова-
нию функций

      §1. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема Ферма.
Пусть функция y = f (x) определена на интервале (a, b) и в некоторой точке
x0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение, т.е.
∀x ∈(a , b) , f ( x) ≤ f ( x0 ) или f ( x) ≥ f ( x0 ) . Тогда, если в точке x0 существует
производная, то она равна нулю, т.е. f ' ( x0 ) =0 .

Теорема Ролля.
Пусть на отрезке [a, b] определена функция y = f (x) , причем:
  1. f (x) непрерывна на [a, b] .
  2. f (x) дифференцируема на (a, b) .
  3. f (a) = f (b) .
Тогда существует точка с ∈(a, b) , в которой f ' (c) =0 .

Теорема Лагранжа.
Пусть на отрезке [a, b] определена функция y = f (x) , причем:
  1. f (x) непрерывна на [a, b] .
  2. f (x) дифференцируема на (a, b) .
Тогда существует точка c ∈(a, b) такая, что справедлива формула
 f (b ) − f ( a )
                  = f ' (c ) .
     b −a

          §2. Монотонность функции. Экстремум функции и его нахожде-
ние

Теорема. Если функция f (x) дифференцируема на интервале (a, b) и
f ' ( x) >0 ( f ' ( x) <0 ), то функция возрастает (убывает) на интервале (a , b) .

Теорема. Если функция f (x) дифференцируема на интервале ( a , b) и
f ' ( x) ≥0 ( f ' ( x) ≤0 ), то функция не убывает (не возрастает) на (a , b) .

Определение. Точка x0 называется точкой строгого локального максиму-
ма (минимума) функции f (x) , если для всех х из некоторой δ-окрестности
точки x0 выполняется неравенство f ( x) < f ( x0 ) ( f ( x) > f ( x0 ) ) при х≠х0 .
                        y                                    y
                                                                             max
                                         min




                                                    x                                    x
                            0    x0 -δ   x0 x0 +δ                0   x0 -δ    x0 x0 +δ

Страницы