Математика. Гайворонская С.А. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

27
Локальный максимум (max) и локальный минимум (min) объединя-
ются общим названием локальный экстремум .
Теорема (необходимое условие локального экстремума).
Если функция )( xf имеет в точке
0
x локальный экстремум и диффе-
ренцируема в этой точке , то 0)('
0
=xf .
Эти точки называют стационарными, или точками возможного
экстремума.
Если точка
0
x - точка возможного экстремума, т .е. 0)('
0
=xf , то она
может и не быть точкой локального максимума или минимума. Например,
3
xy = , 03'
2
== xy при 0
=
x , но, тем не менее, в точке 0
=
x нет локального
экстремума.
Теорема ( достаточное условие локального экстремума).
Если функция дифференцируема в некоторой δ-окрестности точки
0
x . Тогда, если 0)('
>
xf ( 0)('
<
xf ) для всех из ),(
00
xx δ − (слева от точки
0
x ), а 0)('
<
xf ( 0)('
>
xf ) для всех из ),(
00
δ +xx (справа от точки
0
x ), то в
точке
0
x
функция
)( xf
имеет локальный максимум (минимум ). Если же
)(' xf
во всей δ-окрестности точки
0
x имеет один и тот же знак , то в точке
0
x локального экстремума нет.
Другими словами, если )(' xf при переходе через точку
0
x меняет
знак с « + » на «-», то
0
x - точка локального максимума; если )(' xf при пе-
реходе через точку
0
x
меняет знак с « - » на «+», то
0
x
- точка локального
минимума; если
)(' xf
при переходе через точку
0
x знака не меняет, то в
точке
0
x экстремума не существует.
Пример .
Найти точки локального экстремума функции
32
)1()1()( +−= xxxf .
Решение.
Найдем производную :
)15()1)(1()1()1(3)1)(1(2)('
2223
−+−=−+++−= xxxxxxxxf .
Найдем 0)('
=
xf
Решая уравнение 0)15()1)(1(
2
=−+− xxx , находим три точки возможного экс -
тремума
1
1
−=x
,
1
2
=x
,
5
1
3
=x
.
Знак f ’ (x)
Знак f(x)
-
1
1/5
max
1
min
+ + + 
                                            27
     Локальный максимум (max) и локальный минимум (min) объединя-
ются общим названием локальный экстремум.

Теорема (необходимое условие локального экстремума).
    Если функция f (x) имеет в точке x0 локальный экстремум и диффе-
ренцируема в этой точке, то f ' ( x0 ) =0 .

         Эти точки называют стационарными, или точками возможного
экстремума.
         Если точка x0 - точка возможного экстремума, т.е. f ' ( x0 ) =0 , то она
может и не быть точкой локального максимума или минимума. Например,
 y = x 3 , y' =3 x 2 =0 при x =0 , но, тем не менее, в точке x =0 нет локального
экстремума.

Теорема ( достаточное условие локального экстремума).
         Если функция дифференцируема в некоторой δ-окрестности точки
x0 . Тогда, если f ' ( x) >0 ( f ' ( x) <0 ) для всех из ( x0 −δ , x0 ) (слева от точки
x0 ), а f ' ( x) <0 ( f ' ( x) >0 ) для всех из ( x0 , x0 +δ ) (справа от точки x0 ), то в
точке x0 функция f (x) имеет локальный максимум (минимум). Если же
 f ' ( x) во всей δ-окрестности точки x0 имеет один и тот же знак, то в точке
x0 локального экстремума нет.

      Другими словами, если f ' ( x) при переходе через точку x0 меняет
знак с «+» на «-», то x0 - точка локального максимума; если f ' ( x) при пе-
реходе через точку x0 меняет знак с «-» на «+», то x0 - точка локального
минимума; если f ' ( x) при переходе через точку x0 знака не меняет, то в
точке x0 экстремума не существует.

Пример.
Найти точки локального экстремума функции f ( x) =( x −1) 2 ( x +1)3 .
Решение.
Найдем производную:
 f ' ( x) =2( x −1)( x +1) 3 +3( x +1) 2 ( x −1) 2 =( x −1)( x +1) 2 (5 x −1) .
Найдем f ' ( x) =0
Решая уравнение ( x −1)( x +1) 2 (5 x −1) =0 , находим три точки возможного экс-
                                1
тремума x1 =−1 , x2 =1 , x3 = .
                                5

               +            +       max          -     min     +       Знак f’(x)


                    -1               1/5                1              Знак f(x)

Страницы