Математика. Гайворонская С.А. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

28
5
1
=x - точка max, 1
=
x - точка min, 1
−
=
x - не является точкой экстремума.
§3. Направление выпуклости и точки перегиба
Пусть функция
)( xfy
=
дифференцируема на интервале
),( ba
. Тогда
существует касательная к графику функции )( xfy
=
в любой точке
))(,( xfxМ
этого графика ( bxa
<
<
), причем касательная не параллельна оси
Oy , так как ее угловой коэффициент равный )(' xf , конечен.
Определение 1. Будем говорить, что график функции
)( xfy
=
имеет на
),( ba выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже
(не выше) любой касательной к графику функции на
),( ba
.
Теорема.
Если функция )( xfy
=
имеет на интервале ),( ba вторую производную и
0)(''
≥
xf ( 0)(''
≤
xf ) во всех точках ),( ba , то график функции )( xfy
=
име-
ет на ),( ba выпуклость, направленную вниз (вверх).
Определение 2. Точка ))(,(
00
xfxМ называется точкой перегиба графика
функции
)( xfy
=
, если в точке М график имеет касательную и существует
такая окрестность точки
0
x , в пределах которой график функции )( xfy
=
слева и справа от точки
0
x имеет разные направления выпуклости.
Теорема (необходимое условие точки перегиба)
Пусть график функции
)( xfy
=
имеет перегиб в точке
))(,(
00
xfxМ
и пусть
функция
)( xfy
=
имеет в точке
0
x непрерывную вторую производную . То-
гда )('' xf в точке
0
x обращается в нуль, т .е . 0)(''
=
xf .
Точки ))(,(
00
xfxМ графика, для которых 0)(''
=
xf , называются крити-
ческими.
Теорема (достаточное условие точки перегиба)
Пусть функция )( xfy
=
имеет вторую производную в некоторой окрестно-
сти точки
0
x . Тогда, если в пределах указанной окрестности )('' xf имеет
разные знаки слева и справа от точки
0
x
, то график
)( xfy
=
имеет перегиб
в точке ))(,(
00
xfxМ .
вверх
0
a
b
x
вниз
0
a
b
x
                                             28
   1
x = - точка max, x =1 - точка min, x =−1 - не является точкой экстремума.
   5

       §3. Направление выпуклости и точки перегиба

        Пусть функция y = f (x) дифференцируема на интервале (a, b) . Тогда
существует касательная к графику функции y = f (x) в любой точке
М ( x, f ( x)) этого графика ( a < x

Страницы