Математика. Гайворонская С.А. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

29
Пример .
Найти точки перегиба функции
3
)( xxf =
.
Найдем производную :
3
2
3
1
)('
x
xf = .
Найдем вторую производную :
32
9
2
)(''
xx
xf −=
. Вторая производная в точке
0
=
x не существует, но график функции
3
)( xxf = имеет перегиб в точке
)0,0( , так как вторая производная имеет слева и справа разные знаки .
§4. Асимптоты графика функции
При исследовании поведения функции на бесконечности, т .е. при
+∞
→
x
и при
−∞
→
x
или вблизи точек разрыва 2 рода, часто оказывается,
что график функции сколь угодно близко приближается к той или иной
прямой. Такие прямые называются асимптотами.
Существуют три вида асимптот : вертикальные, горизонтальные и
наклонные.
Определение 1. Прямая
0
xx = называется вертикальной асимптотой гра-
фика функции
(
)
xfy =
, если хотя бы одно из предельных значений
+
→
0
lim
xx
или
−
→
0
lim
xx
равно
+
или
−
.
Определение 2. Прямая Ay
=
называется горизонтальной асимптотой
графика функции
(
)
xfy =
при
+∞
→
x
(
−∞
→
x
), если
()
(
)
Axf
x
x
=
−∞→
+∞→
lim
.
Определение 3. Прямая
bkxy
+
=
,
(
)
0≠k называется наклонной асимпто -
той графика функции
(
)
xfy = при
+∞
→
x
(
−∞
→
x
), если функцию
(
)
xf
можно представить в виде
(
)
(
)
xbkxxf α++= , где
(
)
0→xα при
+∞
→
x
(
−∞
→
x
).
Теорема.
Для того, чтобы график функции
(
)
xfy = имел при
+∞
→
x
(
−∞
→
x
) на-
клонную асимптоту
bkxy
+
=
, необходимо и достаточно, чтобы существо-
вали два предела:
()
(
)
k
x
xf
x
x
=
−∞→
+∞→
lim
и
()
(
)
[
]
bkxxf
x
x
=−
−∞→
+∞→
lim
.
0
перегиб
+
Знак f ’’(x)
Знак f(x)
-
                                                     29
Пример.
Найти точки перегиба функции f ( x) =3 x .
                                             1
Найдем производную: f ' ( x) =           3
                                                 .
                                       3 x2
                                                            2
Найдем вторую производную: f ' ' ( x) =−                           . Вторая производная в точке
                                                          9x x 2
                                                            3


x =0 не существует, но график функции f ( x) =3 x имеет перегиб в точке
(0, 0) , так как вторая производная имеет слева и справа разные знаки.

                        +              перегиб              -       Знак f’’(x)


                                             0                      Знак f(x)


        §4. Асимптоты графика функции

      При исследовании поведения функции на бесконечности, т.е. при
x → +∞ и при x → −∞ или вблизи точек разрыва 2 рода, часто оказывается,
что график функции сколь угодно близко приближается к той или иной
прямой. Такие прямые называются асимптотами.
      Существуют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и
наклонные.

Определение 1. Прямая x =x 0 называется вертикальной асимптотой гра-
фика функции y = f (x ), если хотя бы одно из предельных значений lim                              +
                                                                                           x→ x0

или lim равно +∞ или −∞ .
              −
     x → x0



Определение 2. Прямая y = A называется горизонтальной асимптотой
графика функции y = f (x ) при x → +∞ ( x → −∞), если x →lim
                                                           +∞
                                                              f (x ) = A .
                                                                          (x → −∞)


Определение 3. Прямая y =kx +b , (k ≠0) называется наклонной асимпто-
той графика функции y = f (x ) при x → +∞ ( x → −∞ ), если функцию f (x )
можно представить в виде f (x ) =kx +b +α (x ) , где α (x ) → 0 при x → +∞
( x → −∞ ).

Теорема.
Для того, чтобы график функции y = f (x ) имел при x → +∞ ( x → −∞ ) на-
клонную асимптоту y =kx +b , необходимо и достаточно, чтобы существо-
                                f (x )
вали два предела: x →lim               =k и lim [ f (x ) −kx] =b .
                       +∞         x         x → +∞
                     (x → −∞)               (x → −∞)

Страницы