Математика. Гайворонская С.А. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

31
Рассмотрим примеры исследования функции и построения ее графи-
ка.
Пример 1.
Исследовать функцию
5
4
43
xx
y
−
= , построить график.
1. Функция определена на всей числовой оси, т .е .
(
)
(
)
∞+∞−= ,fD .
2. Проверим четность функции, для этого рассмотрим
()
(
)
(
)
5
4
5
4
5
4
4343
43
xxxxxx
xf
+
−=
−−
=
−−−
=−
Получаем, что
(
)
(
)
xfxf ≠− ,
(
)
(
)
xfxf −≠− , значит , это функция общего вида.
3. Исследуемая функция не является периодической.
4. Данная функция непрерывна в каждой точке области определения, т .к.
()
5
4
4lim
5
1
4
0
3
0
43
0
xx
xx
xx
−
=−
→
, т .е .
(
)
(
)
0
0
lim xfxf
xx
=
→
.
5. Найдем точки пересечения функции с осями координат .
0
=
x , тогда
(
)
0=xf
(
)
0=xf
, при 4
=
x , 0
=
x .
Значит ,
(
)
0,4 и
(
)
0,0 - точки пересечения с координатными осями.
6. Вертикальных асимптот функция не имеет, т .к. всюду непрерывна.
Проверим, имеет ли функция наклонную асимптоту:
()
−∞=−==
+∞→+∞→
xx
x
y
k
xx
4lim
5
1
lim
2
1
,
()
+∞=−==
−∞→−∞→
xx
x
y
k
xx
4lim
5
1
lim
2
2
Следовательно, наклонной асимптоты функция не имеет.
7.
() ()
xxxf −= 3
5
4
'
2
,
(
)
0' = xf , при
0
=
x
и
3
=
x
, которые являются критиче-
скими точками. Исследуем эти точки , определяя знак производной, слева и
справа от этих точек
(
)
0' > xf при
(
)
3,∞−∈ x , т .е. функция на этом интервале возрастает;
(
)
0' < xf при
(
)
∞+∈ ,3x , т .е. функция на этом интервале убывает.
(
)
xf ' при переходе через точку 3
=
x меняет знак с «+ » на «-», т .е. это
точка максимума,
(
)
4,53
max
=f .
(
)
xf ' при переходе через точку 0
=
x не меняет знак , поэтому в этой точ -
ке экстремума нет.
8.
() ()
xxxf −= 2
12
''
,
(
)
0'' =xf при 0
=
x и 2
=
x . Эти значения
x
могут
быть абсциссами точек перегиба. Исследуем их, определяя знак
''f
слева и
справа этих точек:
0
3
max
+ +
Знак f ’ (x)
Знак f(x) 
                                                  31
       Рассмотрим примеры исследования функции и построения ее графи-
ка.
Пример 1.
                         4 x 3 −x 4
Исследовать функцию y =             , построить график.
                              5
1. Функция определена на всей числовой оси, т.е. D( f ) =(−∞, +∞).
2. Проверим четность функции, для этого рассмотрим
         4(−x ) −(−x )      −4 x 3 −x 4     4 x 3 +x 4
                     3           4

    f (−x ) =            =               =−
                5                 5              5
Получаем, что f (−x ) ≠ f (x ) , f (−x ) ≠−f (x ) , значит, это функция общего вида.
3. Исследуемая функция не является периодической.
4. Данная функция непрерывна в каждой точке области определения, т.к.
                        4 x −x0
                             3       4

     lim (4 x 3 −x 4 ) = 0
   1
                                , т.е. xlim   f (x ) = f (x0 ).
   5 x → x0                 5            → x0

5. Найдем точки пересечения функции с осями координат.
   x =0 , тогда f (x ) =0
   f (x ) =0 , при x =4 , x =0 .
Значит, (4, 0) и (0, 0) - точки пересечения с координатными осями.
6. Вертикальных асимптот функция не имеет, т.к. всюду непрерывна.
Проверим, имеет ли функция наклонную асимптоту:
               y 1
   k1 = lim      = lim x 2 (4 −x ) =−∞ ,
        x → +∞ x 5 x → +∞
               y 1
   k 2 = lim = lim x 2 (4 −x ) =+∞
        x → −∞ x  5 x → −∞
Следовательно, наклонной асимптоты функция не имеет.
            4
7. f ' (x ) = x 2 (3 −x ) , f ' (x ) =0 , при x =0 и x =3 , которые являются критиче-
            5
скими точками. Исследуем эти точки, определяя знак производной, слева и
справа от этих точек

                         +               +   max          -       Знак f’(x)


                             0                3                   Знак f(x)


    f ' (x ) >0 при x ∈(−∞, 3), т.е. функция на этом интервале возрастает;
    f ' (x ) <0 при x ∈(3, +∞), т.е. функция на этом интервале убывает.
    f ' (x ) при переходе через точку x =3 меняет знак с «+» на «-», т.е. это
точка максимума, f max (3) =5,4 .
    f ' (x ) при переходе через точку x =0 не меняет знак, поэтому в этой точ-
ке экстремума нет.
          f ' ' (x ) = x (2 −x ) , f ' ' (x ) =0 при x =0 и x =2 . Эти значения x могут
8.                    12
                 5
быть абсциссами точек перегиба. Исследуем их, определяя знак f ' ' слева и
справа этих точек:

Страницы