Математика. Гайворонская С.А. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

32
(
)
0'' <xf при
(
)
(
)
+∞∞−∈ ,20, Ux , т .е. функция на этих интервалах имеет
выпуклость, направленную вверх;
(
)
0'' >xf при
(
)
2,0∈x , т .е. функция на этом интервале имеет выпуклость,
направленную вниз;
(
)
xf '' при переходе через точки 0
=
x , 2
=
x функция имеет разные на-
правления выпуклости, т .е . это точки перегиба,
()
2,3
5
16
2 == f ,
(
)
00 =f .
Учитывая все полученные результаты исследования, строим график:
Пример 2.
Исследовать функцию
2
3
1
x
x
y
−
= , построить график.
1. Функция определена на всей числовой оси, кроме точки 0
=
x , т .е.
(
)
(
)
(
)
∞+∞−= ,00, UfD .
2. Проверим четность функции, для этого рассмотрим
()
(
)
()
2
3
2
3
11
x
x
x
x
xf
+
=
−
−−
=−
Получаем, что
(
)
(
)
xfxf ≠− ,
(
)
(
)
xfxf −≠− , значит , это функция общего вида.
3. Исследуемая функция не является периодической.
4. Данная функция непрерывна в каждой точке области определения, т .к.
2
0
3
0
2
3
1
1
lim
0
x
x
x
x
xx
−
=
−
→
, т .е .
(
)
(
)
0
0
lim xfxf
xx
=
→
.
В точке 0
=
x функция имеет разрыв 2 рода, т .к. +∞=
−
−
→
2
3
0
1
lim
x
x
x
.
5. Найдем точки пересечения функции с осями координат .
(
)
0=xf , при 1
=
x . Точка
(
)
0,1 - точка пересечения с осью абсцисс.
С осью ординат пересечения нет, так как точка 0
=
x , не является точкой
области определения.
2
перегиб
+
Знак f ’’(x)
Знак f(x)
перегиб
0
0
                                                    32


                -          перегиб         +      перегиб    -    Знак f’’(x)

                               00                        2        Знак f(x)


    f ' ' (x ) <0 при x ∈(−∞, 0 )  (2,+∞), т.е. функция на этих интервалах имеет
выпуклость, направленную вверх;
   f ' ' (x ) >0 при x ∈(0, 2 ) , т.е. функция на этом интервале имеет выпуклость,
направленную вниз;
   f ' ' (x ) при переходе через точки x =0 , x =2 функция имеет разные на-
                                                                    16
правления выпуклости, т.е. это точки перегиба, f (2) =                 =3,2 , f (0 ) =0 .
                                                                     5
   Учитывая все полученные результаты исследования, строим график:




Пример 2.
                                     1 −x 3
Исследовать функцию y =                     , построить график.
                                       x2
1. Функция определена на всей числовой оси, кроме точки x =0 , т.е.
   D( f ) =(−∞, 0 )  (0, +∞) .
2. Проверим четность функции, для этого рассмотрим
             1 −(−x ) 1 +x 3
                       3
    f (−x ) =         = 2
               (−x )2   x
Получаем, что f (−x ) ≠ f (x ) , f (−x ) ≠−f (x ) , значит, это функция общего вида.
3. Исследуемая функция не является периодической.
4. Данная функция непрерывна в каждой точке области определения, т.к.
          1 −x 3 1 −x 0
                           3

   lim          =       , т.е. xlim   f (x ) = f (x 0 ).
   x → x0   x2     x0
                      2          → x0


                                                    1 −x 3
В точке x =0 функция имеет разрыв 2 рода, т.к. lim− 2 =+∞ .
                                               x→ 0   x
5. Найдем точки пересечения функции с осями координат.
 f (x ) =0 , при x =1 . Точка (1, 0 ) - точка пересечения с осью абсцисс.
С осью ординат пересечения нет, так как точка x =0 , не является точкой
области определения.

Страницы