Математика. Гайворонская С.А. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

34
Глава 5. Неопределенный и определенный интегралы
§1. Первообразная функции
Одной из основных задач дифференциального исчисления является
отыскание производной заданной функции. Разнообразные вопросы мате-
матического анализа и его многочисленные приложения в геометрии, ме-
ханике , физике и технике приводят к обратной задаче: по данной функции
)( xf найти такую функцию )( xF , производная которой была бы равна
функции
)( xf
, т .е.
)()(' xfxF
=
.
Определение 1. Функция )( xF называется первообразной для функции
)( xf
на некотором промежутке Х, если для всех значений
x
из этого про-
межутка выполняется равенство )()(' xfxF
=
.
Примеры.
1. Функция
xxF sin)(
=
является первообразной для функции
xxf cos)(
=
на
всей числовой прямой, так как при любом значении
x
xx cos)'(sin
=
.
2. Функция
3
)( xxF = является первообразной для функции
2
3)( xxf = на
всей числовой прямой, так как при любом значении
x
23
3)'( xx = .
Теорема. Если функция
)( xF
- первообразная для функции
)( xf
на неко -
тором промежутке Х , то любая другая первообразная для )( xf на том же
промежутке может быть представлена в виде
сxF
+
)(
, где с – произвольная
постоянная .
Определение 2. Если функция )( xF первообразная для функции )( xf на
некотором промежутке Х , то множество функций сxF
+
)( , где с – произ-
вольная постоянная , называется неопределенным интегралом от функции
)( xf
на этом промежутке и обозначается
cxFdxxf +=
∫
)()(
.
При этом функция )( xf называется подынтегральной функцией,
dxxf )( - подынтегральным выражением, переменная
x
– переменной ин-
тегрирования.
Отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной
функции называется интегрированием этой функции.
Введенная операция - интегрирование функции, в отличие от опера-
ции дифференцирования, многозначна. Этим объясняется термин «неопре -
деленный интеграл».
Свойства неопределенного интеграла
1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций ра-
вен алгебраической сумме интегралов, т .е .
[
]
∫
∫
∫
±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
. 
                                    34
Глава 5. Неопределенный и определенный интегралы

     §1. Первообразная функции

       Одной из основных задач дифференциального исчисления является
отыскание производной заданной функции. Разнообразные вопросы мате-
матического анализа и его многочисленные приложения в геометрии, ме-
ханике, физике и технике приводят к обратной задаче: по данной функции
 f (x) найти такую функцию F (x) , производная которой была бы равна
функции f (x) , т.е. F ' ( x) = f ( x) .

Определение 1. Функция F (x) называется первообразной для функции
f (x) на некотором промежутке Х, если для всех значений x из этого про-
межутка выполняется равенство F ' ( x) = f ( x) .

Примеры.
1. Функция F ( x) =sin x является первообразной для   функции f ( x) =cos x на
всей числовой прямой, так как при любом значении      x (sin x)' =cos x .
2. Функция F ( x) = x3 является первообразной для     функции f ( x ) =3x 2 на
всей числовой прямой, так как при любом значении      x ( x3 )' =3 x 2 .

Теорема. Если функция F (x) - первообразная для функции f (x) на неко-
тором промежутке Х, то любая другая первообразная для f (x) на том же
промежутке может быть представлена в виде F ( x) +с , где с – произвольная
постоянная.

Определение 2. Если функция F (x) первообразная для функции f (x) на
некотором промежутке Х, то множество функций F ( x) +с , где с – произ-
вольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции
 f (x) на этом промежутке и обозначается ∫f ( x)dx = F ( x) +c .
           При этом функция f (x) называется подынтегральной функцией,
 f ( x ) dx - подынтегральным выражением, переменная x – переменной ин-
тегрирования.
           Отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной
функции называется интегрированием этой функции.
           Введенная операция - интегрирование функции, в отличие от опера-
ции дифференцирования, многозначна. Этим объясняется термин «неопре-
деленный интеграл».

                         Свойства неопределенного интеграла
1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций ра-
   вен               алгебраической             сумме  интегралов, т.е.
   ∫[ f ( x) ±g ( x)]dx =∫f ( x)dx ±∫g ( x)dx .

Страницы