Математика. Гайворонская С.А. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

35
2. Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, т .е.
∫
∫
≠=⋅ 0,)()( kdxxfkdxxfk .
Таблица основных интегралов
1.
∫
+
+
=
+
С
n
x
dxx
n
n
1
1
, 1
−
≠
n
8.
∫
+= С tgx
x
dx
2
cos
2. Сx
x
dx
∫
+= ln
9.
∫
+−= Сctgx
x
dx
2
sin
3.
∫
+= С edxe
xx
10. СxСx
x
dx
+−=+=
−
∫
arccosarcsin
1
2
4. С
a
a
dxa
x
x
∫
+=
11. СarcctgxСarctgx
x
dx
+−=+=
+
∫
2
1
5.
∫
+= С xxdx sincos
12.
С
ax
ax
a
ax
dx
+
+
−
=
−
∫
ln
2
1
22
6.
∫
+−= Сxxdx cossin
13. С
a
x
xa
dx
+=
−
∫
arcsin
22
7. С
a
x
arctg
a
ax
dx
+=
+
∫
1
22
14. Сxx
x
dx
+++=
+
∫
λ
λ
2
2
ln
§2. Определенный интеграл
Пусть функция
)( xfy
=
определена
на
[
]
ba , , ba
<
. Разобьем
[
]
ba , на n произ-
вольных частей точками:
bxxxxxxa
nii
=<<<<<<<=
−
.........
1210
.
Точки , разделяющие отрезок
[
]
ba ,
на частичные отрезки
[
]
ii
xx ,
1 −
длиной
1−
−=∆
ii
xxx , будем называть точками раз -
биения. Выберем в каждом из частичных
отрезков
[
]
ii
xx ,
1 −
точку
i
ξ :
[
]
iii
xx ≤≤
−
ξ
1
Образуем сумму
σ
:
∑
=
∆=∆++∆++∆+∆=
n
i
iinnii
xfxfxfxfxf
1
2211
)()(....)(...)()( ξξξξξσ
,
которую назовем интегральной суммой для функции
)( xf
на
[
]
ba , , соответ -
ствующей данному разбиению
[
]
ba , на частичные отрезки и данному выбо-
ру промежуточных точек
i
ξ .
Геометрический смысл суммы
σ
: это сумма площадей прямоуголь-
ников с основаниями
i
x∆ и высотами )(
i
f ξ .
Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка разбие-
ния
{
}
i
ni
x∆=
≤≤ 1
maxλ .
0
y
x
x
0
=a
ξ
1
x
1
f(
ξ
1
)
ξ
2
x
2
f(
ξ
2
)
∆
x
1
∆
x
2
ξ
i
x
i-1
x
i
∆
x
i
x
n-1
ξ
n
x
n
∆
x
n
f(
ξ
n
) 
                                                        35
2. Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, т.е.
   ∫k ⋅ f ( x)dx =k ∫f ( x)dx, k ≠0 .
                                 Таблица основных интегралов
                x n +1                                              dx
1.    ∫x n
           dx =
                n +1
                       +С , n ≠−1                      8.      ∫cos     2
                                                                            x
                                                                                    =tgx +С

       dx                                                           dx
2.    ∫ x =ln x +С                                     9.      ∫sin     2
                                                                          x
                                                                                =−ctgx +С

      ∫e dx =e +С                                                       dx
         x       x
3.                                                     10.     ∫ 1 −x           2
                                                                                    =arcsin x +С =−arccos x +С

                ax                                                  dx
4.    ∫a dx =
        x

               ln a
                    +С                                 11.     ∫1 +x        2
                                                                                =arctgx +С =−arcctgx +С

5.    ∫cos xdx =sin x +С                                             dx       1     x −a
                                                       12.     ∫x   2
                                                                      −a 2
                                                                            = ln
                                                                              2a x +a
                                                                                         +С

6.    ∫sin xdx =−cos x +С                              13.     ∫
                                                                      dx              x
                                                                             =arcsin +С
                                                                    a 2 −x 2          a
               dx    1     x                                         dx
7.    ∫x   2
               +a 2
                    = arctg +С
                     a     a
                                                       14.     ∫    x +λ
                                                                      2
                                                                             =ln x + x 2 +λ +С


       §2. Определенный интеграл

       Пусть функция y =f (x) определена                            y

на [a, b], a

Страницы