Математика. Гайворонская С.А. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

37
=−+−+=
∫∫∫∫∫
dx
x
dx
xdx
x
dx
dxx 5sin7
2
5
используя формулы 1, 2 и 6 таблицы основных интегралов, находим:
Cxxx
x
x
+−++−= 5lncos7
1
6
6
2.
=
∫
dx532
xx2x
преобразуем подынтегральную функцию , используя формулу
(
)
x
xx
abba = , и
воспользуемся формулой 4 таблицы основных интегралов:
()
∫∫
+==⋅⋅= С
x
60
ln
60
dx60dx532
x
x
2
3. =
−
∫
2
2 x
dx
C
x
+
2
arcsin
Интеграл табличный, по формуле 13, где 2=a :
4.
∫
=
+
dx
x
x
2
4
1
интеграл не табличный, поэтому преобразуем его. Так как
11111
2244
+−+=+−= xxxx :
()
∫∫∫∫
++−=++−=
+
+
+
−+
=
+
+−+
= Carctgxx
x
Carctgxdxx
x
dx
dx
x
xx
dx
x
xx
3
1
11
11
1
111
3
2
22
22
2
22
II. Метод подведения функции под знак дифференциала
5.
=
∫
xdx5cos
Перейдем к новой переменной интегрирования. Т .к.
(
)
dxxd 55 = , умножим и
разделим данный интеграл на 5:
()
∫
+== Cxxxd 5sin
5
1
55cos
5
1
6. =⋅
∫
xdxx sincos
5
()
C
x
xdx +−=−
∫
6
cos
coscos
6
5
Переходим к новой переменной интегрирования,
xdxxd sincos −= . Умно-
жим и разделим данный интеграл на -1:
7.
=
+
∫
dx
x
arctgx
2
4
1
()()
C
arctgx
arctgxdarctgx +=
∫
5
5
4
Переходим к новой переменной интегрирования,
()
dx
x
arctgxd
2
1
1
+
= .
III . Метод замены переменной :
(вводя новую переменную , необходимо все составляющие подынтеграль-
ного выражения заменить через нее)
8. =
−
∫
−
dx
x
e
x
12
12
Положим 12 −= xt , тогда tdttdtdx
t
x =⋅⋅=
+
= 2
2
1
;
2
1
2
. Находим 
                                                                37
           dx              dx
=∫x 5 dx +∫ 2 −7∫sin xdx +∫ −5∫dx =
           x                x
используя формулы 1, 2 и 6 таблицы основных интегралов, находим:
  x6 1
=    − +7 cos x +ln x −5 x +C
   6 x
2. ∫2 2x 3 x 5 x dx =
преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу a x b x =(ab)x , и
воспользуемся формулой 4 таблицы основных интегралов:
     (                     )
=∫ 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 dx =∫60 x dx =
                               x                  60 x
                                                 ln 60
                                                       +С
                  dx                        x
3.   ∫    2 −x             2
                               =arcsin
                                            2
                                                +C

Интеграл табличный, по формуле 13, где a = 2 :
        x4
4.   ∫1 +x 2 dx =
интеграл       табличный,          не                       поэтому    преобразуем       его.     Так   как
x =x −1 +1 =(x +1)(x 2 −1) +1 :
 4            4                         2



=∫
     (x   2
                  +1)(x 2 −1) +1      (x 2 +1)(x 2 −1) dx + dx = (x 2 −1)dx +arctgx +C = x 3 −x +arctgx +C
                   1 +x 2
                                 dx =∫ 1 +x 2              ∫1 +x 2 ∫                     3

II. Метод подведения функции под знак дифференциала
5. ∫cos 5 xdx =
Перейдем к новой переменной интегрирования. Т.к. d (5 x ) =5dx , умножим и
разделим данный интеграл на 5:
 1                  1
= ∫cos 5 xd (5 x ) = sin 5 x +C
 5                  5
                                                              cos 6 x
6. ∫cos 5 x ⋅ sin xdx =−∫cos 5 xd (cos x ) =−                         +C
                                                                6
Переходим к новой переменной интегрирования, d (cos x ) =−sin xdx . Умно-
жим и разделим данный интеграл на -1:

      (arctgx)4 dx = (arctgx)4 d (arctgx ) =(arctgx )5
7.   ∫    1 +x
            2       ∫                                           5
                                                                      +C

                                                                                            1
Переходим к новой переменной интегрирования, d (arctgx ) =                                       dx .
                                                                                          1 +x 2
III . Метод замены переменной:
(вводя новую переменную, необходимо все составляющие подынтеграль-
ного выражения заменить через нее)
                  2 x −1
         e
8.   ∫    2 x −1
                               dx =

                                                       t 2 +1       1
Положим t = 2 x −1 , тогда x =                                ; dx = ⋅ 2 ⋅ tdt =tdt . Находим
                                                          2         2

Страницы