Математика. Гайворонская С.А. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

38
Cedtetdt
t
e
tt
t
+===
∫∫
. Возвращаясь к переменной
x
, окончательно имеем:
Cedx
x
e
x
x
+=
−
−
−
∫
12
12
12
9.
=−
∫
dxx
3
41
Воспользуемся заменой
3
41 xt −= , тогда
4
1
3
t
x
−
= ; dttdx
2
4
3
−= . Тогда
Ctdttdttt +−=−=⋅−=
∫∫
432
16
3
4
3
4
3
. Окончательно имеем:
()
Cxxdxx +−−−=−
∫
33
4141
16
3
31 .
IV. Метод интегрирования по частям
с использованием формулы
∫
∫
−= VdUUVUdV
,
где U и V - дифференцируемые функции от
x
.
Применение этой формулы целесообразно в тех случаях, когда последний
интеграл будет проще исходного или подобный ему. За
U
принимается
функция, которая при дифференцировании упрощается (например:
4
,3ln,arccos,arcsin xxxx
), за dV всегда выбирается такое выражение, содер-
жащее dx , из которого посредством интегрирования можно найти V.
10.
=
∫
xdxx ln
Положив xdxdvxu
=
=
;ln , найдем
∫
===
2
;
1
2
x
xdxvdx
x
du , подставляя в фор-
мулу, получим:
Cx
x
C
x
x
x
xdxx
x
dx
x
x
x
x
+
−=+−=−=⋅−=
∫∫
2
1
ln
24
ln
22
1
ln
2
1
2
ln
2
222222
11.
∫
=xarctgxdx
Положив
xdxdvarctgxu
=
=
;
, найдем
2
;
1
1
2
2
x
vdx
x
du =
+
=
, подставляя в форму-
лу, получим:
∫
=
+
−= dx
x
x
arctgx
x
1
2
1
2
2
22
последний интеграл решим отдельно:
Сarctgxxdx
x
dxdx
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
+−=
+
−=
+
−
+
+
=
+
−+
=
+
∫∫∫∫∫∫
1
1
1
1
1
1
1
11
1
222
2
2
2
2
2
подставляем в искомый интеграл :
C
x
arctgx
x
Carctgx
x
arctgx
x
+−
+
=++−=
2
2
1
2
1
2
2
22
12.
∫
=xdxe
x
sin
Положив xdxdveu
x
sin; == , найдем xxdxvdxedu
x
cossin; −===
∫
, подставляя в
формулу, получим:
=+−=
∫
xdxexe
xx
coscos
                                         38
     t
    e
=∫ tdt =∫e t dt =e t +C . Возвращаясь к переменной x , окончательно имеем:
     t
   e 2 x −1
∫ 2 x −1dx =e +C
                 2 x −1



9. ∫3 1 −4 x dx =
                                                   1 −t 3        3
Воспользуемся заменой t =3 1 −4 x , тогда x =             ; dx =− t 2 dt . Тогда
                                                     4           4
   3              3          3
=− ∫t ⋅ t 2 dt =− ∫t 3 dt =− t 4 +C . Окончательно имеем:
   4              4         16
                3
∫ 1 −3x dx =−16 (1 −4 x ) 1 −4 x +C .
 3                        3




IV. Метод интегрирования по частям
с использованием формулы ∫UdV =UV −∫VdU ,
где U и V - дифференцируемые функции от x .
Применение этой формулы целесообразно в тех случаях, когда последний
интеграл будет проще исходного или подобный ему. За U принимается
функция, которая при дифференцировании упрощается (например:
arcsin x, arccos x, ln 3 x, x 4 ), за dV всегда выбирается такое выражение, содер-
жащее dx , из которого посредством интегрирования можно найти V .

10. ∫x ln xdx =
                                           1               x2
Положив u =ln x; dv =xdx , найдем du = dx; v =∫xdx =          , подставляя в фор-
                                           x               2
мулу, получим:
  x2        x2 1   x2     1      x2     x2   x2 �     1�
=    ln x −∫ ⋅ dx = ln x − ∫xdx = ln x − +C = � ln x − � +C
  2         2 x    2      2      2      4    2 �      2�
11. ∫xarctgxdx =
                                                  1           x2
Положив u =arctgx; dv =xdx , найдем du =              dx; v =    , подставляя в форму-
                                               x 2 +1         2
                  x2         1  x2
лу, получим: =       arctgx − ∫ 2   dx =
                  2          2 x +1
последний интеграл решим отдельно:
   x2       x 2 +1 −1      x 2 +1         1                1
∫x 2 +1 ∫ x 2 +1
       dx =           dx =∫x 2 +1 dx −∫x 2 +1 dx =∫dx −∫x 2 +1 dx =x −arctgx +С
подставляем в искомый интеграл:
  x2         x 1            x 2 +1         x
=    arctgx − + arctgx +C =        arctgx − +C
  2          2 2               2           2
12. ∫e sin xdx =
       x


Положив u =e x ; dv =sin xdx , найдем du =e x dx; v =∫sin xdx =−cos x , подставляя в
формулу, получим: =−e x cos x +∫e x cos xdx =

Страницы