Математика. Гайворонская С.А. - 40 стр.

                                                  40
      Аналогично можно определить функцию любого конечного числа
независимых переменных         z = f ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) или z = f (M ) , где
M =( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) .

      Примеры функции двух переменных:
1. z =x 2 +y 2 . Область определения этой функции – множество {М } всех
пар чисел ( x, y ) , т.е. вся плоскость xOy , а множество значений – промежу-
ток Z =[0, +∞) .
2. z = 1 −x 2 −y 2 . Областью определения данной функции является множе-
ство всех точек, для которых выражение 1 −x 2 −y 2 определено, т.е. мно-
жество точек, для которых 1 −x 2 −y 2 ≥0 или x 2 +y 2 ≤1 , - это круг с центром в
начале координат и радиусом – единица. Множество значений –отрезок
[0,1] .

    §2. Частные производные и дифференциалы 1-го порядка для
функции многих переменных

         Пусть функция z = f (M ) определена в некоторой окрестности точки
M ( x, y ) . Придадим переменной x в точке M произвольное приращение ∆x ,
оставляя значение переменной y неизменным, т.е. перейдем на плоскости
от точки M ( x, y ) к точке M 1 ( x +∆x, y ) . При этом ∆x таково, что M 1 лежит в
указанной окрестности точки M . Тогда соответствующее приращение
функции
                                   ∆z x = f ( x +∆x, y ) − f ( x, y )
называется частным приращением функции по переменной x в точке
M ( x, y ) .
Аналогично определяется частное приращение функции по переменной y :
                        ∆z y = f (x, y +∆y ) − f (x, y ).


Определение. Частной производной функции z = f ( x, y ) по переменной x
называется конечный предел при ∆x → 0 отношения:
                          f (x +∆x, y ) − f (x, y )         ∆z x ∂z
                  lim                               = lim       = = f x ' (x, y )
                 ∆x → 0            ∆x                ∆x → 0 ∆x   ∂x
Аналогично:

      Частной производной функции z = f ( x, y ) по переменной y называет-
ся конечный предел при ∆y → 0 отношения:
                          f (x, y +∆y ) − f (x, y )         ∆z y ∂z
                 lim                                = lim       = = f y ' (x, y ) .
                 ∆y → 0            ∆y                ∆y → 0 ∆y   ∂y
Примеры.
                                                                    ∂z ∂z
1. z =x 2 −2 xy 2 +y 3 . Найти частные производные                    , .
                                                                    ∂x ∂y