Математика. Гайворонская С.А. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

41
2
22
z
xy
x
∂
=−
∂
,
y
рассматривается как постоянная функция.
43
z
xyy
y
∂
=−+
∂
.
2.
2
sin
zxy
=
2sin
z
xy
x
∂
=
∂
,
2
cos
z
xy
y
∂
=
∂
.
§3. Дифференциал функции многих переменных
Полным приращением функции
()
zfM
=
в точке
(,)
Mxy
, соответст-
вующим приращениям
x
∆
и
y
∆
переменных
x
и
y
, называется функция
(,)(,)
zfxxyyfxy
∆=+∆+∆−
Определение 1. Функция
()
zfM
=
называется дифференцируемой в точке
M
, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в
виде:
(
)
(
)
yyxxyxyBxAz ∆∆∆+∆∆∆+∆+∆=∆ ,, βα
где
A
и
B
- некоторые не зависящие от
x
∆
и
y
∆
числа;
(,)
xy
α
∆∆
и
(,)
xy
β
∆∆
-
бесконечно малые при
0
x
∆→
,
0
y
∆→
функции.
Теорема.
Если функция
()
zfM
=
дифференцируема в точке
(,)
Mxy
, то она имеет в
этой точке частные производные
'(,)
x
fxy
и
'(,)
y
fxy
, причем
'(,)
x
fxyA
=
,
'(,)
y
fxyB
=
.
Определение 2. Дифференциалом
dz
дифференцируемой в точке
M
функции
()
zfM
=
называется линейная относительно приращений
x
∆
и
y
∆
часть полного приращения этой функции в точке
M
, т .е.
dzAxBy
=∆+∆
.
или
'(,)'(,)
xy
dzfxyxfxyy
=∆+∆
Дифференциалами независимых переменных
x
и
y
назовем приращение
этих переменных:
dxx
=∆
и
dyy
=∆
. Тогда дифференциал функции можно
записать в виде :
'(,)'(,)
xy
zz
dzfxydxfxydydxdy
xy
∂∂
=+=+
∂∂
Примеры.
1.
2
yarctgxy
=
2222
22
,
1414
zyzx
xxyyxy
∂∂
==
∂+∂+
2222
22
1414
yx
dzdxdy
xyxy
=+
++
2.
2
xy
zxye
+
=
22
(1),(12)
xyxy
zz
yexxey
xy
++
∂∂
=+=+
∂∂
(
)
(
)
dyyxedxxyedz
yxyx
211
22
+++=
++
                                                   41
   ∂z
      =2 x −2 y 2 , y рассматривается как постоянная функция.
   ∂x
   ∂z
      =−4 xy +3 y 2 .
   ∂y
2. z =x 2 sin y
   ∂z               ∂z
      =2 x sin y ,     =x 2 cos y .
   ∂x               ∂y

       §3. Дифференциал функции многих переменных

    Полным приращением функции z = f ( M ) в точке M ( x, y ) , соответст-
вующим приращениям ∆x и ∆y переменных x и y , называется функция
                                 ∆z = f ( x +∆x, y +∆y ) − f ( x, y )
Определение 1. Функция z = f (M ) называется дифференцируемой в точке
M , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в
виде:
                  ∆z =A∆x +B∆y +α (∆x, ∆y )∆x +β (∆x, ∆y )∆y
где A и B - некоторые не зависящие от ∆x и ∆y числа; α (∆x, ∆y ) и β (∆x, ∆y ) -
бесконечно малые при ∆x → 0 , ∆y → 0 функции.

Теорема.
Если функция z = f ( M ) дифференцируема в точке M ( x, y) , то она имеет в
этой точке частные производные f x '( x, y ) и f y '( x, y ) , причем f x '( x, y) =A ,
 f y '( x, y) =B .
Определение 2. Дифференциалом dz дифференцируемой в точке M
функции z = f (M ) называется линейная относительно приращений ∆x и ∆y
часть полного приращения этой функции в точке M , т.е.
                                  dz =A∆x +B∆y .
или                       dz = f x '( x, y)∆x + f y '( x, y )∆y
Дифференциалами независимых переменных x и y назовем приращение
этих переменных: dx =∆x и dy =∆y . Тогда дифференциал функции можно
                                                                         ∂z     ∂z
записать в виде:               dz = f x '( x, y)dx + f y '( x, y )dy =      dx + dy
                                                                         ∂x     ∂y
Примеры.
1. y =arctg 2 xy                                        2. z =xye x +2 y
    ∂z     2y         ∂z        2x                          ∂z                       ∂z
       =           ,     =                                     = ye x +2 y (1 +x),      =xe x +2 y (1 +2 y )
    ∂x 1 +4 x y2 2
                      ∂y 1 +4 x 2 y 2                       ∂x                       ∂y
    dz =
           2y
                   dx +
                          2x
                                    dy                      dz = ye x +2 y
                                                                           (1 +x )dx +xe x+2 y (1 +2 y )dy
        1 +4 x y
              2 2
                       1 +4 x 2 y 2

Страницы