Математика. Гайворонская С.А. - 43 стр.

                                                43
       §5. Экстремум функции двух переменных

      Пусть функция z = f ( x, y ) определена в некоторой окрестности точки
M 0 ( x0 , y0 ) .
Определение. Говорят, что функция z = f ( x, y ) имеет в точке M 0 локаль-
ный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки M 0 , в
которой для любой точки                                        M ( x, y) выполняется неравенство
 f ( x, y ) ≤ f ( x0 , y0 ) , ( f ( x, y ) ≥ f ( x0 , y0 ) ) .
           Точки локального максимума и локального минимума называются
точками экстремума.
           Из определения следует, что если функция z = f ( x, y ) имеет экстре-
мум в точке M 0 , то полное приращение ∆z = f ( M ) − f ( M 0 ) этой функции в
точке M 0 удовлетворяет в некоторой окрестности точки M 0 одному из
следующих неравенств:
                               ∆z ≤0 (в случае локального максимума)
                                ∆z ≥0 (в случае локального минимума)
           И обратно, если в некоторой окрестности точки M 0 выполняется од-
но из этих неравенств, то функция имеет экстремум в точке M 0 .

Теорема (необходимые условия экстремума)
Если функция f ( x, y ) имеет в точке M 0 ( x0 , y0 ) экстремум и имеет в точке
M 0 частные производные первого порядка, то в этой точке частные произ-
водные первого порядка равны нулю, т.е. f x ' (x 0 , y 0 ) = f y ' (x 0 , y 0 ) =0 или
∂z ( M 0 ) ∂z (M 0 )
          =          =0 .
   ∂x         ∂y

     Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю
или не существуют, называются точками возможного экстремума, или
стационарными.

Теорема (достаточные условия экстремума)
Пусть в точке возможного экстремума M 0 ( x0 , y0 ) и некоторой ее окрестно-
сти функция f ( x, y ) имеет непрерывные частные производные второго по-
рядка. Положим:
                     ∂2 z              ∂2 z               ∂2 z
                A=        ( M   ) , B =     ( M   ), C =       (M 0 ), ∆ = AB −C 2
                     ∂x 2              ∂y 2              ∂x∂y
                              0                 0


Тогда:
  1. Если ∆ >0 , то в точке M 0 функция имеет экстремум, причем при
       A >0 - локальный минимум, при A <0 - локальный максимум.
  2. Если ∆ <0 , то в точке M 0 экстремума нет.
  3. Если ∆ =0 , то необходимы дополнительные исследования.