Математика. Гайворонская С.А. - 42 стр.

                                                            42
       §4. Частные производные высших порядков
                                                                         ∂z                          ∂z
       Пусть частные производные f x '( x, y ) =                                и f y '( x, y ) =         функции
                                                                         ∂x                          ∂y
z = f ( М ) , определенной в окрестности точки M , существуют в каждой
точке этой окрестности, назовем их частными производными первого по-
рядка.
      В свою очередь частные производные по переменным x и y от
функций f x '( x, y ) и f y '( x, y ) , если они существуют, называются частными
производными второго порядка от функции z = f ( М ) в этой точке и обо-
значаются:
                     ∂ � ∂z � ∂ 2 z                        ∂ � ∂z � ∂ 2 z
                           �   � =     = f xx ' ' (x, y );      �     � =       = f yy ' ' (x, y )
                     ∂x � ∂x � ∂x 2                        ∂y �� ∂y �� ∂y 2
                    ∂ � ∂z �      ∂2 z                      ∂ � ∂z �       ∂2 z
                        ��   �� =      = f xy ' ' (x, y );        �    � =      = f yx ' ' (x, y )
                    ∂x � ∂y � ∂x∂y                         ∂y � ∂x � ∂y∂x
Частные производные второго порядка вида f xy ''( x, y) и f yx ''( x, y ) называют-
ся смешанными частными производными.

Теорема.
Если производные f xy ''( x, y) и f yx ''( x, y) существуют в некоторой δ -
окрестности точки M ( x, y) и непрерывны в самой точке M , то они равны
между собой в этой точке, т.е. имеет место равенство f xy ''( x, y ) = f yx ''( x, y ) .

Запишем частные производные третьего порядка:
∂ � ∂ 2 z�   ∂3 z         �∂         � ∂2 z    ∂3 z ∂ � ∂ 2 z �     ∂3 z   ∂3 z   ∂ � ∂2 z �     ∂3z   ∂3 z
   �     �2 = 3 ;     �          �           =     ;    �       � =      =      ;    �       � =     =
∂x � ∂x�     ∂x           � ∂y        � ∂y
                                           2
                                              ∂y 3 ∂x �� ∂y 2 �� ∂x∂y 2 ∂y 2 ∂x ∂y �� ∂x 2 �� ∂y∂x 2 ∂x 2 ∂y
                                                            .
Примеры.
1. z =sin x cos y . Найти d 2 z .
           ∂2 z         ∂2 z       ∂2 z
    d 2 z = 2 dx 2 +         dxdy + 2 dy 2
           ∂x         ∂x∂y         ∂y
    ∂z                     ∂z                ∂2 z               ∂2 z
         =cos x cos y ;       =−sin x sin y ; 2 =−sin x cos y ;      =−sin x cos y ;
    ∂x                     ∂y                ∂x                 ∂y 2
     ∂2 z                     ∂2 z
           =−cos x sin y ;         =−cos x sin y .
    ∂x∂y                     ∂y∂x
    d 2 z =−sin x cos ydx 2 −cos x sin ydxdy −sin x cos ydy 2 .

2. z =x 2 +2 xy +y 4 . Найти d 2 z .
    ∂z             ∂z               ∂2 z      ∂2 z           ∂2 z
       =2 x +2 y ;    =2 x +4 y 3 ;      =2 ;      =12 y 2
                                                           ;      =2 ;
    ∂x             ∂y               ∂x 2      ∂y 2           ∂x∂y
    d 2 z =2dx 2 +2dxdy +12 y 2 dy 2 .