Математика. Гайворонская С.А. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

44
Пример .
Исследовать на экстремум функцию
I.
22
zxy
=−
.
1.
2,2
zz
xy
xy
∂∂
∂∂
,
2. Решая систему уравнений (применяем теорему о необходимых усло-
виях экстремума)
20
20
x
y
=
−=
, получаем точку возможного экстремума -
0
(0,0)
M .
3. Проверяем достаточные условия экстремума:
222
22
2,2,0
zzz
ABC
xyxy
∂∂∂
====−==
∂∂∂∂
,
2
40
ABC
∆=−=−<
- экстремума нет.
II.
33
31
zxyxy
=+−+
1. yx
x
z
33
2
−=
∂
∂
, xy
y
z
33
2
−=
∂
∂
2. Решая систему уравнений
222
222
3300
33000
xyxyyx
yxyxyx

−=−==

⇔⇔

−=−=−=


, полу-
чаем точки возможного экстремума -
0
(1,1)
M или
0
(0,0)
M .
3. Проверяем достаточные условия экстремума для точки )1,1(
0
M :
222
22
6,6,3
zzz
AxByC
xyxy
∂∂∂
======−
∂∂∂∂
,
2
3690
ABC
∆=−=−>
- экстремум есть.
0
A
>
- локальный минимум.
Для точки
0
(0,0)
M получаем 09
2
<−=−=∆ САВ - экстремума нет.
Глава 7. Элементы линейной алгебры
§1. Понятие вектора.
Определение. Любой упорядоченный набор из
n
действительных чисел
123
,,,...
n
aaaa
называется
n
-мерным вектором
a
, при этом числа, состав -
ляющие упомянутый набор, называются координатами вектора
a
.
Координаты
n
-мерного вектора
a
можно расположить либо в строку
123
(,,,...)
n
aaaaa
= - вектор-строка,
либо в столбец
1
2
....
n
a
a
a
a



=



- вектор-столбец. 
                                                 44
Пример.
Исследовать на экстремум функцию
I. z =x 2 −y 2 .
        ∂z             ∂z
   1.      =2 x ,         =−2 y ,
        ∂x             ∂y
   2. Решая систему уравнений (применяем теорему о необходимых усло-
                                    � 2 x =0
        виях экстремума) �                     , получаем точку возможного экстремума -
                                     � −2 y =0
        M 0 (0, 0) .
   3. Проверяем достаточные условия экстремума:
           ∂2 z         ∂2 z           ∂2 z
        A=      =2, B =      =−2, C =       =0 ,
           ∂x 2         ∂y 2          ∂x∂y
        ∆ =AB −C 2 =−4 <0 - экстремума нет.

II. z =x3 +y 3 −3xy +1
        ∂z               ∂z
   1.      =3 x 2 −3 y ,    =3 y 2 −3 x
        ∂x               ∂y
                                             � 3 x 2 −3 y =0 �   x 2 −y =0      � y =x 2
   2. Решая систему уравнений �                             ⇔�               ⇔ �           , полу-
                                              � 3 y −3 x =0 �    y 2 −x =0
                                                               � y −x =0
                                                   2              2


   чаем точки возможного экстремума - M 0 (1, 1) или M 0 (0, 0) .
   3. Проверяем достаточные условия экстремума для точки M 0 (1, 1) :
           ∂2 z           ∂2 z             ∂2 z
        A=      =6 x , B =     =6 y , C =       =−3 ,
           ∂x 2           ∂y 2            ∂x∂y
        ∆ =AB −C 2 =36 −9 >0 - экстремум есть.
        A >0 - локальный минимум.
        Для точки M 0 (0, 0) получаем ∆ =АВ −С 2 =−9 <0 - экстремума нет.


Глава 7. Элементы линейной алгебры

        §1. Понятие вектора.

Определение. Любой упорядоченный набор из n действительных чисел
a1 , a2 , a3 ,... an называется n -мерным вектором a , при этом числа, состав-
ляющие упомянутый набор, называются координатами вектора a .
Координаты n -мерного вектора a можно расположить либо в строку
a =(a1 , a2 , a3 ,... an ) - вектор-строка,
                   � a�1
                    � �
                         a
либо в столбец a =� � 2 - вектор-столбец.
                     � ....�
                      � �
                       � a� n

Страницы