Математика. Гайворонская С.А. - 39 стр.

                                              39
Для решения полученного интеграла воспользуемся интегрированием по
частям. Положив u =e x ; dv =cos xdx , найдем du =e x dx; v =∫cos xdx =sin x , под-
ставляя в формулу, получим:
=−e x cos x +e x sin x −∫e x sin xdx
Перенося интеграл из правой части в левую, получаем:
2∫e x sin xdx =−e x cos x +e x sin x +С
                                          ex
Окончательно имеем: ∫e x sin xdx =           (sin x −cos x ) +С
                                          2

V. Интегрирование с помощью формул
                                          1
                           sin α ⋅ cos β = [sin (α +β ) +sin (α −β )]
                                           2
                                          1
                          cos α ⋅ cos β = [cos(α +β ) +cos(α −β )]
                                          2
                                          1
                          sin α ⋅ sin β = [cos(α −β ) −cos(α +β )]
                                          2
                        1                                     1
13. ∫sin 2 x sin 4 xdx = ∫[cos(2 x −4 x ) −cos(2 x +4 x )]dx = ∫[cos(−2 x ) −cos 6 x]dx =
                        2                                     2
  1               1              1           1
= ∫cos 2 xdx − ∫cos 6 xdx = sin 2 x − sin 6 x +C
  2               2              4         12




Глава 6. Функции многих переменных.

       §1. Понятие функции многих переменных

Определение. Если упорядоченной паре ( x, y ) из некоторого числового
множества D ={( x, y )} поставлено в соответствие, согласно некоторому
правилу f , число z из множества Z , то говорят, что на множестве D за-
дана функция z = f ( x, y ) . Переменные x и y называются независимыми пе-
ременными или аргументами, z - зависимая переменная или функция двух
переменных, D - область определения функции, Z ={ f ( x, y )} - множество
значений функции.
      Так как каждой упорядоченной паре чисел ( x, y ) при фиксированной
прямоугольной системе координат соответствует единственная точка М
плоскости и, обратно, каждой точке М соответствует единственная упоря-
доченная пара чисел ( x, y ) , то функцию двух переменных можно рассмат-
ривать как функцию точки М и вместо z = f ( x, y ) писать z = f (M ) , где
M =( x, y ) . Областью определения функции в этом случае является некото-
рое множество {М } точек плоскости.