Математика. Гайворонская С.А. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

36
Определение. Если существует конечный предел I интегральной суммы
при 0
→
λ
, то этот предел называется определенным интегралом от функ-
ции
)( xf
по отрезку
[
]
ba , и обозначается
i
n
i
i
b
a
xfdxxfI ∆==
∑
∫
=
→
)(lim)(
1
0
ξ
λ
Функция
)( xf
называется интегрируемой на
[
]
ba , , число а – нижним пре -
делом , число b – верхним пределом ,
)( xf
- подынтегральной функцией,
x
– переменной интегрирования.
Свойства определенного интеграла
1.
∫
=
a
a
dxxf 0)(
.
2.
∫∫
−=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()( .
3. Каковы бы ни были числа а, b, с , имеет место равенство:
∫∫∫
+=
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()( .
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного инте-
грала:
∫∫
=⋅
b
a
b
a
dxxfkdxxfk )()( .
5. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен ал -
гебраической сумме их интегралов:
()
∫∫∫
±=±
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
.
6.
∫
−=
b
a
abdx .
Связь между интегралом и первообразной
(формула Ньютона - Лейбница )
Если )( xF первообразная для
)( xf
на
[
]
ba , , то
()
b
a
b
a
xFaFbFdxxf )()()( =−=
∫
Примеры
1.
8
1
0
8
1
1
8
1
8
1
8
1
0
8
1
0
7
=⋅−⋅==
∫
xdxx .
2.
2
2
0
2
2
0sin
4
sinsincos
4
0
4
0
=−=−==
∫
π
π
π
xdxx .
§3. Основные методы интегрирования
I. Непосредственное интегрирование
1.
=
−+−+
∫
dx
x
x
x
x 5
1
sin7
1
2
5
представим интеграл как сумму интегралов, постоянный множитель выне-
сем за знак интеграла (используя свойства неопределенного интеграла): 
                                                            36
Определение. Если существует конечный предел I интегральной суммы
при λ → 0 , то этот предел называется определенным интегралом от функ-
                                                                     b                n
ции f (x) по отрезку [a, b] и обозначается I =∫f ( x)dx =lim ∑ f (ξi )∆xi
                                                         λ→ 0
                                                                     a               i =1

Функция f (x) называется интегрируемой на [a, b], число а – нижним пре-
делом, число b – верхним пределом, f (x) - подынтегральной функцией, x
– переменной интегрирования.

                                  Свойства определенного интеграла
     a
1.   ∫f ( x)dx =0 .
     a
     b                   a
2.   ∫f ( x)dx =−∫f ( x)dx .
     a                   b

3. Каковы бы ни были числа а, b, с, имеет место равенство:
     b               c                 b

     ∫f ( x)dx =∫f ( x)dx +∫f ( x)dx .
     a               a                 c

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного инте-
              b                    b

грала: ∫k ⋅ f ( x)dx =k ∫f ( x)dx .
              a                    a

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен ал-
                                                           b                    b           b
гебраической сумме их интегралов: ∫( f ( x) ±g ( x))dx =∫f ( x)dx ±∫g ( x )dx .
                                                           a                    a           a
     b
6.   ∫dx =b −a .
     a

                             Связь между интегралом и первообразной
                                  (формула Ньютона - Лейбница)
                                                                         b
Если F (x) первообразная для f (x) на [a, b], то                         ∫f (x )dx =F (b) −F (a) =F ( x)
                                                                                                           b
                                                                                                           a
                                                                         a



Примеры
     1
                  1      1    1     1     1
     ∫x       dx = x 8       = ⋅18 − ⋅ 0 = .
          7
1.
     0
                  8      0    8     8     8
     π
                             π
     4
                                           π           2       2
2.   ∫cos xdx =sin x
     0
                             4
                             0   =sin
                                           4
                                             −sin 0 =
                                                      2
                                                         −0 =
                                                              2
                                                                 .


§3. Основные методы интегрирования
     I. Непосредственное интегрирование
     �            1             1    �
1. ∫� x 5 +           −7 sin x + −5 � dx =
     �                                 �
                    2
                  x             x
представим интеграл как сумму интегралов, постоянный множитель выне-
сем за знак интеграла (используя свойства неопределенного интеграла):

Страницы