Математика. Гайворонская С.А. - 25 стр.

                                      25
        §3. Производные высших порядков. Дифференциал

      Производная функции y = f (x) также является новой функцией того
же аргумента. Производная ее называется производной второго порядка по
отношению к исходной функции, т.е.
       y '' =( y ' ( x )) ' , y ''' =( y '' ( x )) '


Пример.
Дана функция y =x 5 . Найти производную третьего порядка y ' ' ' .
y ' =5 x 4 ; y '' =20 x 3 ; y ''' =60 x 2 .

     Для дифференцируемой функции y = f ( x ) ее приращение можно
представить в виде: ∆y =A ⋅∆x +α (∆x ) ∆x , где α ( ∆x ) – бесконечно малая
функция, при ∆x → 0 .

Определение. Дифференциалом dy или df ( x ) функции y = f ( x ) в точке x
называется главная линейная относительно ∆x часть приращения функции
в этой точке, т.е.
                              ∆y = f ′( x)∆x .
Приращение аргумента ∆x обозначим как dx и тогда ∆y = f ′( x)dx - формула
дифференцирования.

Пример.
y =x3 +4 x 2 . Найти dy .
y ' =3 x 2 +8 x
dy =(3 x 2 +8 x ) dx


Дифференциал функции dy является функцией того же аргумента. Диффе-
ренциал от этой функции называется дифференциалом второго порядка
исходной функции, т.е. d ( dy ) =d 2 y .