Математика. Гайворонская С.А. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

23
Теорема 1. Для того, чтобы функция
(
)
yfx
= была дифференцируема в
точке
0
x
, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конеч -
ную производную .
Теорема 2. Если функция дифференцируема в данной точке
0
x
, то она не-
прерывна в этой точке .
Правила дифференцирования
1. Если fxaaconst(),
=
=
, то
fx
′
≡
, т .е. производная постоянной равна
нулю.
2. Если
f
x
u
x
v
x
(
)
(
)
(
)
=
±
, то
()()()
fxuxvx
′′′
=±
, т .е . производная алгеб-
раической суммы дифференцируемых функций равна алгебраической
сумме производных этих функций.
3. Если
()()()
fxuxvx
=⋅
, то
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
xvxuxvxuxf ''' ⋅+⋅= .
4. Производная сложной функции: если
(
)
(
)
(
)
xfFxG = , то
()(())()
GxFfxfx
′′′
=⋅
.
Таблица производных
1.
1
()
nn
xnx
−
′
=⋅
7.
(
)
'
xx
ee
=
2.
(cos)sin
xx
′
=−
8.
2
1
(arcsin)
1
x
x
′
=
−
3.
(sin)cos
xx
′
=
9.
2
1
(arccos)
1
x
x
′
=−
−
4.
2
1
()
cos
tgx
x
′
= 10.
2
1
()
1
arctgx
x
′
=
+
5.
2
1
()
sin
ctgx
x
′
=− 11.
()
2
1
1
'
x
arcctgx
+
−=
6.
()ln
xx
aaa
′
=
§2. Примеры решения задач по теме «Производная функции».
I. Простейшие случаи нахождения производной .
1. 123
24
+−+= xxxy
264'
3
−+= xxy
2.
4
31
2
3
+−+=
x
x
xy
. Для удобства нахождения производной перепи-
шем функцию в следующем виде : 43
21
3
1
+−+=
−−
xxxy .
32
3
2
32
3
2
1211
1
3
1
61
3
1
6
3
1
6
3
1
'
xx
x
xxxxxxy +−=+−=+−=
−−
−
−−−−
−
3. ctgxxxy 5cos34
5
−−=
x
xxy
2
4
sin
5
sin320' ++=
4.
xx
xtgx
ey 2
4
2
4
++−= 
                                                    23
Теорема 1. Для того, чтобы функция y = f ( x ) была дифференцируема в
точке x0 , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конеч-
ную производную.
Теорема 2. Если функция дифференцируема в данной точке x0 , то она не-
прерывна в этой точке.

                                      Правила дифференцирования
1. Если f ( x ) =a , a =const , то f ′( x ) ≡0 , т.е. производная постоянной равна
нулю.
2. Если f ( x ) =u( x ) ±v( x ) , то f ′( x) =u′( x) ±v′( x) , т.е. производная алгеб-
раической суммы дифференцируемых функций равна алгебраической
сумме производных этих функций.
3. Если f ( x) =u ( x) ⋅ v( x) , то f ' (x ) =u' (x ) ⋅ v (x ) +u (x ) ⋅ v' (x ) .
4. Производная                   сложной      функции:              если           G (x ) =F ( f (x )) , то
G′( x) =F ′( f ( x)) ⋅ f ′( x) .
                                         Таблица производных
            1. ( x )′ =n ⋅ x
                     n           n −1
                                                                7. (e x ) ' =e x
            2. (cos x)′ =−sin x                               8.    (arcsin x)′ =
                                                                                     1
                                                                                 1 −x 2
            3. (sin x)′ =cos x                                9. (arccos x)′ =−
                                                                                     1
                                                                                   1 −x 2
                           1                                                    1
            4. (tgx)′ =                                       10. (arctgx)′ =
                        cos 2 x                                               1 +x 2
                              1                                                    1
            5. (ctgx)′ =− 2                                   11. (arcctgx)' =−
                           sin x                                                1 +x 2
            6. (a )′ =a ln a
                  x      x




        §2. Примеры решения задач по теме «Производная функции».

I. Простейшие случаи нахождения производной.
    1. y = x 4 +3x 2 −2 x +1
            y ' =4 x3 +6 x −2
                       1 3
      2.    y =3 x + − 2 +4 . Для удобства нахождения производной перепи-
                       x x
                                                         1
шем функцию в следующем виде: y =x 3 +x −1 −3x −2 +4 .
                    1                           2
                 1 −1                     1 −                    1    1  6
            y ' = x 3 −x −1−1 +6 x −2 −1 = x 3 −x −2 +6 x −3 = 3     − 2+ 3
                 3                        3                   3 x  2  x  x
      3.    y =4 x −3 cos x −5ctgx
                   5


                                      5
            y ' =20 x 4 +3 sin x + 2
                                  sin x
                             4
                     tgx x
      4.    y =e x − + +2 x
                       2    4

Страницы