Математика. Гайворонская С.А. - 14 стр.

                                                  14
      Если на некотором промежутке Х определена функция z =ϕ (x ) с
множеством значений Z , а на множестве Z определена функция y = f (z ),
то функция y = f [ϕ (x )] называется сложной функцией от х , а переменная z
- промежуточной переменной сложной функции.

       Пусть X и Y - некоторые множества и пусть задана функция f , т.е.
множество пар чисел (x, y ), x ∈ X , y ∈Y , в котором каждое число х входит в
одну и только одну пару, а каждое число y , - по крайней мере, в одну пару.
Если в каждой паре этого множества числа х и y поменять местами, то
получим множество пар чисел (y, x ), которое называется обратной функ-
цией ϕ к функции f . Обратную функцию обозначают x =ϕ (y ) . Например,
y =x 2 и x =± y ; y =ln x и x =e y .


      §2. Предел функции в точке

      Пусть функция f ( x ) определена на некотором множестве Х и пусть
точка a ∈ X или a ∉ X . Возьмем из Х последовательность точек, отличных
от а: x1 , x2 , x3 ,..., xn сходящуюся к а. Значение функции в точках этой по-
следовательности также образуют числовую последовательность
                             f ( x1 ) , f ( x2 ) , f ( x3 ) ,..., f ( xn )
Определение 1. Число b называется пределом функции y = f (x) , в точке а,
если для любой последовательности значений аргумента x1 , x2 , x3 ,..., xn схо-
дящейся к а и состоящей из чисел xn ≠a , соответствующая последователь-
ность значений функции f ( x1 ) , f ( x2 ) , f ( x3 ) ,..., f ( xn ) сходится к числу b.

Определение 2. Число b называется пределом функции y = f (x ), в точке а,
если для любого положительного числа ε существует такое число δ, зави-
сящее от ε, δ >0 , что для всех x ≠a , удовлетворяющих условию x −a <δ ,
выполняется неравенство            f ( x ) −b <ε или
      (∀ε >0) (∃δ =δ (ε ) >0) (∀x ∈ X , x ≠a, x −a <δ )⇒ f (x ) −b <ε
      Обозначают это так lim        f (x ) =b или f ( x ) → b при x → a
                               x→ a

     В определениях не требуется, чтобы функция была определена в
предельной точке, но функция должна быть определена к какой-нибудь
окрестности предельной точки,

Определение 3. Если x → a и x a , то x → a + ( x → a +0 ) . Соответствующий
предел называется правосторонним пределом. lim f (x ) =b .
                                                                     x→ a+