Математика. Гайворонская С.А. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
Глава 2. Предел функции. Непрерывность функции.
§1. Общее понятие функции.
Определение. Пусть даны два числовых множества X и Y. Если каждому
элементу
х
∈X, по определенному правилу, ставится в соответствие одно
определенное значение переменной
y
∈Y, то говорят , что y есть однознач -
ная функция от
х
, и обозначают
(
)
yfx= .
Переменная
х
называется независимой переменной, или аргументом.
Совокупность всех значений аргумента
х
, для которых функция
(
)
yfx=
определена, называется областью определения функции и обозна-
чается через
(
)
Df.
Совокупность всех значений, принимаемых переменной
y
, называ-
ется областью значений функции
(
)
yfx= и обозначается -
(
)
Ef.
Например, 1−= xy : D(y)=[1, +∞), E(y)=[0, +∞)
Значения функции
(
)
fx
при
x
a
=
обозначают
(
)
fa
.
Графиком функции
(
)
yfx= называется множество точек плоскости
xOy с координатами
(
)
[
]
xfx, ,
x
∈
.
Функция, все значения которой равны между собой, называется по -
стоянной и обозначается с.
Способы задания функций
1. Аналитический – зависимость между переменными определяется с
помощью формулы, например,
22
1, xyxy −== .
2. Табличный, например, таблицы тригонометрических функций, лога-
рифмов, расписание движения поездов, которое определяет местоположе-
ние поезда в отдельные моменты времени.
3. Графический – используется в практике физических измерений, когда
соответствие между переменными
x
и
y
задается посредством графика.
Классификация функций .
Простейшие элементарные функции: постоянная функция
(
)
fxc
=
; степен-
ная функция
(
)
,
a
fxxa
=∀
; показательная функция
(
)
,0,1
x
fxaaa
=>≠
; лога-
рифмическая функция
(
)
log,0,1
a
fxxaa
=>≠
; тригонометрические функции
(
)
xxf sin= ,
(
)
xxf cos= ,
(
)
tgxxf = ,
(
)
ctgxxf = ; обратные тригонометрические
функции
(
)
sin
fxarcx
= ,
(
)
cos
fxarcx
= ,
(
)
fxarctgx
= ,
(
)
fxarcctgx
= .
Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметиче-
ских действий над простейшими элементарными функциями, а также су-
перпозицией (или наложением) этих функций, составляют класс элемен-
тарных функций, например:
(
)
fxx
=
,
(
)
3
lg2sin3
x
fxarctgx
=+. 
                                           12
Глава 2. Предел функции. Непрерывность функции.

       §1. Общее понятие функции.

Определение. Пусть даны два числовых множества X и Y. Если каждому
элементу х ∈X, по определенному правилу, ставится в соответствие одно
определенное значение переменной y ∈Y, то говорят, что y есть однознач-
ная функция от х , и обозначают y = f (x) .
       Переменная х называется независимой переменной, или аргументом.
       Совокупность всех значений аргумента х , для которых функция
y = f (x) определена, называется областью определения функции и обозна-
чается через D ( f ) .
       Совокупность всех значений, принимаемых переменной y , называ-
ется областью значений функции y = f (x) и обозначается - E ( f ) .
     Например, y = x −1 : D(y)=[1, +∞), E(y)=[0, +∞)
     Значения функции f (x ) при x =a обозначают f (a) .
     Графиком функции y = f (x) называется множество точек плоскости
xOy с координатами [x , f (x )] , x ∈X .
     Функция, все значения которой равны между собой, называется по-
стоянной и обозначается с.

                      Способы задания функций
1. Аналитический – зависимость между переменными определяется с
помощью формулы, например, y =x 2 , y = 1 −x 2 .
2. Табличный, например, таблицы тригонометрических функций, лога-
рифмов, расписание движения поездов, которое определяет местоположе-
ние поезда в отдельные моменты времени.
3. Графический – используется в практике физических измерений, когда
соответствие между переменными x и y задается посредством графика.

                                 Классификация функций.
Простейшие элементарные функции: постоянная функция f ( x ) =c ; степен-
ная функция f ( x ) =x a , ∀a ; показательная функция f ( x ) =a x , a >0, a ≠1 ; лога-
рифмическая функция f ( x ) =log a x, a >0, a ≠1 ; тригонометрические функции
 f (x ) =sin x , f (x ) =cos x , f (x ) =tgx , f (x ) =ctgx ; обратные тригонометрические
функции f ( x ) =arc sin x , f ( x ) =arc cos x , f ( x ) =arctgx , f ( x ) =arcctgx .
         Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметиче-
ских действий над простейшими элементарными функциями, а также су-
перпозицией (или наложением) этих функций, составляют класс элемен-
тарных функций, например: f ( x ) = x , f ( x ) =lg3 arctg 2x +sin 3x .

Страницы