Математика. Гайворонская С.А. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

47
Примеры.
1.
−
=
4
0
3
1
2
1
A ,
−
=
543
102
411
B
2 × 3 ⋅ 3 × 3 = 2×3 (3=3)
А ⋅ В = А⋅В
=
⋅+⋅+⋅
⋅+⋅−⋅
⋅+⋅+−⋅
⋅+⋅−−⋅
⋅+⋅+⋅
⋅+⋅−⋅
=
−
⋅
−
=⋅
541342
501141
4403)1(2
4001)1(1
342312
302111
543
102
411
4
0
3
1
2
1
BA
−−
=
31
3
14
1
20
1
В⋅А не имеет смысла, так как 3 × 3 ⋅ 2 × 3 (3≠2).
2.
−
=
4
0
3
1
2
1
A ,
=
6
5
2
B
2 × 3 ⋅ 3 × 1 = 2×1 (3=3)
А ⋅ В = А⋅В
−
=
⋅+⋅+⋅
⋅+⋅−+⋅
=
⋅
−
=⋅
43
3
645322
605)1(21
6
5
2
4
0
3
1
2
1
BA
Транспонирование матриц (нелинейная операция)
Эта операция состоит в замене строк матрицы на ее столбцы с со-
хранением их порядка, или, что то же самое , замена столбцов матрицы на
ее строки .
Пусть
11121
21222
12
...
...
............
...
n
n
nnnn
aaa
aaa
A
aaa
=
, тогда транспонированная матрица имеет
вид:
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
'
21
22212
12111
, например
−
−
=
230
121
514
А ,
−
−=
215
321
014
' А
Свойства транспонированных матриц
1.
A
A
=
'
'
.
2. При транспонировании квадратной матрицы элементы, находящиеся на
главной диагонали, не меняются.
Симметрические матрицы –
это квадратные матрицы , у которых элементы, симметричные относитель-
но главной диагонали, равны, т .е .
jiij
aa = ,
mi ,1=
,
nj ,1=
. 
                                                             47
Примеры.
                            � 1 −1 4 �
        � 1 −1 0 �           �          �
1. A =��           �� , B =� 2 0 1 �
         � 2 3 4�              � 3 4 5�
                                �         �
     2 ×3 ⋅ 3 ×3 = 2×3 (3=3)
       А ⋅ В = А⋅В
                                    � 1 −1 4 �
               � 1 −1 0 �            �          � � 1 ⋅1 −1 ⋅ 2 +0 ⋅ 3 1 ⋅ (−1) −1 ⋅ 0 +0 ⋅ 4 1⋅ 4 −1 ⋅1 +0 ⋅ 5 �
      A ⋅ B =��            �     ⋅ � 2 0 1 � =��                                                                  �� =
                � 2 3 4 ��             � 3 4 5 � � 2 ⋅1 +3 ⋅ 2 +4 ⋅3 2 ⋅ (−1) +3 ⋅ 0 +4 ⋅ 4 2 ⋅ 4 +3 ⋅1 +4 ⋅ 5 �
                                        �        �
         � −1 −1 3 �
      =��            ��
          � 20 14 31�
     В⋅А не имеет смысла, так как 3 ×3 ⋅ 2 ×3 (3≠2).
                            � 2�
        � 1 −1 0 �           � �
2. A =��           �� , B =� 5 �
         � 2 3 4�             � 6�
                               � �
     2 × 3 ⋅ 3 ×1 = 2×1 (3=3)
       А ⋅ В = А⋅В
                                    � 2�
               � 1 −1 0 �            � � � 1 ⋅ 2 +(−1) ⋅ 5 +0 ⋅ 6 � � −3 �
      A ⋅ B =��            �     ⋅ � 5 � =��                       �� =��  ��
                � 2 3 4 ��            � 6 � � 2 ⋅ 2 +3 ⋅ 5 +4 ⋅ 6 � � 43 �
                                       � �

           Транспонирование матриц (нелинейная операция)
      Эта операция состоит в замене строк матрицы на ее столбцы с со-
хранением их порядка, или, что то же самое, замена столбцов матрицы на
ее строки.
                     � a11            a12 ... a1�n
                      �                                  �
                             a        a22 ... a2� n
           Пусть A =� 21                                     , тогда транспонированная матрица имеет
                        � ...         ... ... ...�
                         �                                 �
                           � an1      an 2 ... ann�
           � a11         a 21   ...   a n1 �
            �                                 �                       � 4 −1 5 �        � 4 1 0 �
                                                                       �            �    �            �
вид: A' =�� 12
                   a     a 22   ...   a n2 �
                                                �   , например А =� 1 2 1 � , А' =� −1 2 3 �
                   ...    ...   ...    ...                               � 0 3 −2 �        � 5 1 −2 �
              �                                   �                       �           �     �           �
                � a      a2n    ...   a nn ��
                 � 1n

                Свойства транспонированных матриц
1. A' ' = A .
2. При транспонировании квадратной матрицы элементы, находящиеся на
главной диагонали, не меняются.

                      Симметрические матрицы –
это квадратные матрицы, у которых элементы, симметричные относитель-
но главной диагонали, равны, т.е. aij =a ji , i =1, m , j =1, n .

Страницы