Математика. Гайворонская С.А. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

48
Для симметрических матриц
'
A
A
=
.
Например:
−
−
−
=
215
121
514
А , 1
2112
−== aa , 5
3113
== aa , 1
3223
== aa .
§3. Определитель матрицы
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка
333
222
111
cba
cba
cba
(1).
Определение 1. Определителем третьего порядка , соответствующим мат -
рице (1), называется число, обозначаемое символом :
231321321321321321
333
222
111
cbacababcbacacbcba
cba
cba
cba
−−−++==∆ .
Числа
321321321
,,,,,,,, cccbbbaaa называются элементами определителя. Диа-
гональ, образованная элементами
321
,, cba , называется главной, а диаго-
наль, образованная элементами
123
,, cba - побочной.
Для вычисления определителя используют правило треугольника:
«+» «-»
333
222
111
cba
cba
cba
333
222
111
cba
cba
cba
Пример .
184)2()2(33021110)2(23)2(413
402
312
123
−=⋅−⋅−−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−+⋅⋅−+⋅⋅=−
−
Свойства определителей
1. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поме-
нять местами.
2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна
умножению его на –1.
3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые
строки , то он равен нулю:
4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определи-
теля на любое число
λ
равносильно умножению определителя на это
число.
5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определи-
теля равны нулю, то и сам определитель равен нулю .
6. Если все элементы двух столбцов или двух строк определителя пропор-
циональны, то определитель равен нулю. 
                                                      48
       Для симметрических матриц A = A' .
              � 4 −1 5 �
               �            �
Например: А =� −1 2 1 � , a12 =a21 =−1 , a13 =a31 =5 , a23 =a32 =1 .
                 � 5 1 −2 �
                  �           �

       §3. Определитель матрицы
                                                � a1 b1                             c1 �
                                                 �                                       �
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка � a2 b2                              c2 �     (1).
                                                   � a b                            c3 ��
                                                    � 3 3
Определение 1. Определителем третьего порядка, соответствующим мат-
рице (1), называется число, обозначаемое символом:
               a1     b1   c1
           ∆ = a2     b2   c 2 =a1 b2 c 3 +b1 c 2 a 3 +c1 a 2 b3 −c1 b2 a 3 −b1 a 2 c 3 −a1 b3 c 2 .
                 a3   b3   c3
Числа a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 , c1, c2 , c3 называются элементами определителя. Диа-
гональ, образованная элементами a1 , b2 , c 3 , называется главной, а диаго-
наль, образованная элементами a 3 , b2 , c1 - побочной.
Для вычисления определителя используют правило треугольника:
                                             «+»              «-»
                                   a1   b1    c1              a1   b1   c1
                                   a2   b2    c2              a2   b2   c2
                                   a3   b3    c3              a3   b3   c3
Пример.
3 −2 1
−2 1 3 =3 ⋅1 ⋅ 4 +(−2) ⋅ 3 ⋅ 2 +(−2) ⋅ 0 ⋅1 −1 ⋅1 ⋅ 2 −0 ⋅ 3 ⋅ 3 −(−2) ⋅ (−2) ⋅ 4 =−18
 2     0     4


                          Свойства определителей
1.   Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поме-
     нять местами.
2.   Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна
     умножению его на –1.
3.   Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые
     строки, то он равен нулю:
4.   Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определи-
     теля на любое число λ равносильно умножению определителя на это
     число.
5.   Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определи-
     теля равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
6.   Если все элементы двух столбцов или двух строк определителя пропор-
     циональны, то определитель равен нулю.

Страницы