Математика. Гайворонская С.А. - 52 стр.

                                                                 52
      Если ∆ =∆ x =∆ y =∆ z =0 , то система (1) либо совсем не имеет реше-
ний, либо их бесконечно много.

    §6. Метод Гаусса последовательного исключения неизвестного
      Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений, при
этом система будет несовместной, если в процессе преобразования мат-
ричной системы получим уравнение, в котором коэффициенты при всех
неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля. Если такого
решения не получим, то система будет совместной, при этом она будет оп-
ределенной, если она приводится к треугольному виду, и неопределенной,
если она приводится к трапециевидному виду.

Пример.
                  � x1 +2 x2 +5 x3 =−9
                   �
                     � x1 −x2 +3 x3 =2
                  � 3 x −6 x −x =25
                   � 1      2  3

     Запишем расширенную матрицу (если к матрице системы добавить
столбец свободных членов, то полученную матрицу будем называть рас-
ширенной матрицей):
� 1           2      5 − 9�
�               �
� 1 −1 3 2 � =
 � 3 −6 −1 25 �
  �               �
из первой строки вычтем вторую строку; 1-ю строку умножим на 3 и вы-
чтем из 3-ей строки

      �      1         2        5       −9       � � 1 2  5 −9 �
      �                                           � �             �
    =� 1 −1          2 +1    5 −3     −9 −2 � =� 0 −3 −2 11 � =
        � 3 −1 ⋅ 3 2 ⋅ 3 +6 5 ⋅ 3 +1 −9 ⋅ 3 −25 � � 0 12 16 −52 �
         �                                         � �              �
2-ю строку умножим на 4 и прибавим к 3-ей строке:
          �            1           2       5               −9     � � 1      2     5   −9 �
               �                                                   � �                        �
             =�        0           3       2              −11       � =� 0   3     2      −11� ⇒
                 � 0 ⋅ 4 −0 3 ⋅ 4 −12 2 ⋅ 4 −16 −11 ⋅ 4 +52 � � 0                 0 −8 8 ��
                  �                                                  � �
    � 1       x     + 2 x 2 +5 x3 =− 9     � 1    x +2 x2 +5 x3 =−    9      � x1 =2
     �                                      �                                 �
       �            3 x2 +2 x3 =−11 ⇔ �             3 x2 +2 x3 =−11 ⇔           � x 2 =−3
         �                −8 x3 =8            �            x3 =−1            � x =−1
           �                                    �                             � 3
Ответ: {2, -3, -1}.