Математика. Гайворонская С.А. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

57
III. Нахождение оптимального решения.
Так как рассматриваемая задача - на отыскания максимума, то оп-
тимальное решение – в угловой точке С .
(
)
(
)
2443624,6
max
=⋅+⋅=== FCFF - это точка max.
24
max
=F - при оптимальном решении 6
1
=x , 4
2
=x , т .е. максимальная
прибыль в 24 рубля может быть достигнута при производстве 6 единиц
продукции
1
Р и 4 единиц продукции
2
Р .
Если рассматривать min, то двигать линии в направлении, противо-
положном вектору градиента.
(
)
(
)
00,0
min
=== FOFF .
Задача составления рациона (задача о диете, задача о смесях).
Имеется два вида корма I и II, содержащее питательные вещества
(витамины)
1
S ,
2
S ,
3
S . Содержание числа единиц питательных веществ в 1
кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ,
приведены в таблице :
Число единиц питательных ве-
ществ в 1 кг корма
Питательное ве -
щество (витамин)
Необходимый
минимум пита-
тельных веществ
I II
1
S
2
S
3
S
9
8
12
3
1
1
1
2
6
Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 рублям.
Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную
стоимость, в котором содержание каждого вида питательных веществ было
бы не менее установленного предела.
Решение.
Составим математическую модель задачи.
Обозначим через
1
x ,
2
x - количество кормов I и II, входящих в днев-
ной рацион. Тогда этот рацион будет включать
21
13 xx ⋅+⋅
единиц питательного вещества
1
S
21
21 xx ⋅+⋅ единиц питательного вещества
2
S
21
61 xx ⋅+⋅
единиц питательного вещества
3
S
Так как содержание питательных веществ
1
S ,
2
S ,
3
S в рационе долж -
но быть не менее, соответственно, 9, 8 и 12 единиц, то получим систему
неравенств:
≥⋅+
≥+
≥+
126
82
93
21
21
21
xx
xx
xx
(4)
Кроме того, переменные 0
1
≥x и 0
2
≥x (5)
Общая стоимость рациона в рублях составит
21
64 xxF +=
(6)
Итак , математическая модель задачи: составить дневной рацион
(
)
21
, xxX = , удовлетворяющий системе (4) и условию (5), при котором функ-
ция (6) принимает минимальное значение: 
                                        57
     III. Нахождение оптимального решения.
     Так как рассматриваемая задача - на отыскания максимума, то оп-
тимальное решение – в угловой точке С .
     Fmax = F (C ) = F (6, 4 ) =2 ⋅ 6 +3 ⋅ 4 =24 - это точка max.
     Fmax =24 - при оптимальном решении x1 =6 , x2 =4 , т.е. максимальная
прибыль в 24 рубля может быть достигнута при производстве 6 единиц
продукции Р1 и 4 единиц продукции Р2 .
     Если рассматривать min, то двигать линии в направлении, противо-
положном вектору градиента.
     Fmin = F (O ) = F (0,0 ) =0 .

      Задача составления рациона (задача о диете, задача о смесях).
      Имеется два вида корма I и II, содержащее питательные вещества
(витамины) S1 , S2 , S3 . Содержание числа единиц питательных веществ в 1
кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ,
приведены в таблице:
                          Необходимый        Число единиц питательных ве-
 Питательное ве-
                          минимум пита-            ществ в 1 кг корма
щество (витамин)
                         тельных веществ          I                 II
          S1                    9                 3                 1
          S2                    8                 1                 2
          S3                   12                 1                 6
      Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 рублям.
      Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную
стоимость, в котором содержание каждого вида питательных веществ было
бы не менее установленного предела.
      Решение.
      Составим математическую модель задачи.
      Обозначим через x1 , x2 - количество кормов I и II, входящих в днев-
ной рацион. Тогда этот рацион будет включать
      3 ⋅ x1 +1 ⋅ x2 единиц питательного вещества S1
      1 ⋅ x1 +2 ⋅ x2 единиц питательного вещества S 2
      1 ⋅ x1 +6 ⋅ x2 единиц питательного вещества S3
      Так как содержание питательных веществ S1 , S2 , S3 в рационе долж-
но быть не менее, соответственно, 9, 8 и 12 единиц, то получим систему
                            � 3 x1 +x2 ≥9
                             �
неравенств:                    � x1 +2 x2 ≥8                           (4)
                            � x +6 ⋅ x ≥12
                             � 1      2

      Кроме того, переменные x1 ≥0 и x2 ≥0 (5)
      Общая стоимость рациона в рублях составит F =4 x1 +6 x2 (6)
      Итак, математическая модель задачи: составить дневной рацион
X =(x1 , x2 ), удовлетворяющий системе (4) и условию (5), при котором функ-
ция (6) принимает минимальное значение:

Страницы