Математика. Гайворонская С.А. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

62
События, вероятности которых зависят от наступления или не на-
ступления другого события, называются зависимыми.
Условной вероятностью
(
)
B
PA
называют вероятность события А, вы -
численную в предположении, что событие В уже наступило.
Условие независимости события А от события В можно записать в
виде:
(
)
(
)
B
PAPA
=
. Условие зависимости события А от события В можно
записать в виде :
(
)
(
)
B
PAPA
≠
.
Теорема (о вероятности произведения событий).
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности
одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при усло-
вии, что 1-ое имело место, т .е .
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
BA
PABPAPBPBPA
=⋅=⋅
Следствие: вероятность произведения двух независимых событий равна
произведению вероятностей этих событий:
(
)
(
)
(
)
=⋅
За условную вероятность принимают величину:
()
(
)
()
B
PAB
PA
PB
= .
Пример .
В урне 3 белых и 7 черных шаров. Вынимают один шар , а затем второй.
Найти вероятность того, что первый из взятых шаров – белый, а второй
черный.
Решение.
Вероятность того, что первый шар окажется белым (событие А):
()
10
3
=АР .
Вероятность того, что второй шар окажется черным (событие В):
()
9
7
=ВР
.
По теореме умножения, искомая вероятность определяется:
()()()
23,0
30
7
9
7
10
3
≈=⋅== ВРАРАВР
А
.
§4. Формула полной вероятности
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из
несовместных событий
n
ННН ,...,,
21
, образующих полную группу, следо-
вательно, они единственно возможны и несовместны. Поскольку заранее
неизвестно, какое из этих событий наступит , их называют гипотезами. То-
гда вероятность такого события А определяется по формуле:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
APHPAPHPAPHPАР
n
HnHH
+++= ...
21
21
т . е вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятно-
сти каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе .
Пример .
В первой коробке содержится 20 деталей, из них 18 стандартных; во вто-
рой коробке – 10 деталей, из них 9 стандартных. Из второй коробки науда-
                                           62
      События, вероятности которых зависят от наступления или не на-
ступления другого события, называются зависимыми.
      Условной вероятностью PB ( A ) называют вероятность события А, вы-
численную в предположении, что событие В уже наступило.
      Условие независимости события А от события В можно записать в
виде: PB ( A) =P ( A) . Условие зависимости события А от события В можно
записать в виде: PB ( A) ≠P ( A) .

Теорема (о вероятности произведения событий).
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности
одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при усло-
вии, что 1-ое имело место, т.е. P ( AB ) =PB ( A) ⋅ P ( B ) =PA ( B ) ⋅ P ( A)

Следствие: вероятность произведения двух независимых событий равна
произведению вероятностей этих событий: P ( AB ) =P ( A ) ⋅ P ( B )
                                                                    P ( AB )
За условную вероятность принимают величину: PB ( A) =                        .
                                                                     P (B )
Пример.
В урне 3 белых и 7 черных шаров. Вынимают один шар, а затем второй.
Найти вероятность того, что первый из взятых шаров – белый, а второй
черный.
Решение.
                                                                     3
Вероятность того, что первый шар окажется белым (событие А): Р(А) =    .
                                                                    10
                                                                     7
Вероятность того, что второй шар окажется черным (событие В): Р(В ) = .
                                                                     9
По теореме умножения, искомая вероятность определяется:
                                                3 7 7
                      Р (АВ ) =Р (А )Р А (В ) = ⋅ = ≈0,23 .
                                               10 9 30

      §4. Формула полной вероятности

      Пусть событие А может наступить при условии появления одного из
несовместных событий Н 1 , Н 2 ,..., Н n , образующих полную группу, следо-
вательно, они единственно возможны и несовместны. Поскольку заранее
неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. То-
гда вероятность такого события А определяется по формуле:
                Р(А) =P(H 1 )PH 1 (A) +P(H 2 )PH 2 (A) +... +P(H n )PH n (A)
т.е вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятно-
сти каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

Пример.
В первой коробке содержится 20 деталей, из них 18 стандартных; во вто-
рой коробке – 10 деталей, из них 9 стандартных. Из второй коробки науда-

Страницы