Введение в теорию многозначных отображений. Часть 1 (однозначные аппроксимации и сечения). Гельман Б.Д. - 10 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

||y
0
z
0
|| = ||y
0
k
X
i=1
λ
i
z
i
|| = ||
k
X
i=1
λ
i
y
i
k
X
i=1
λ
i
z
i
|| = ||
k
X
i=1
λ
i
(y
i
z
i
)||
k
X
i=1
λ
i
||y
i
z
i
|| < ε
0
k
X
i=1
λ
i
= ε
0
.
z
0
U
ε
0
(y
0
)
k
P
i=1
λ
i
U
i
U
ε
0
(y
0
)
V
i
= F
1
(U
i
), i = 1, . . . , k
W =
k
T
i=1
V
i
V
i
W 6= Ø x
0
W
x W F
1
(x) V 6= Ø
F
1
F (x) U
i
6= Ø, i = 1, . . . , k
z
i
(F (x) U
i
) z
i
U
i
z
0
=
k
P
i=1
λ
i
z
i
k
P
i=1
λ
i
U
i
U
ε
0
(y
0
) z
i
F (x) z
0
=
k
P
i=1
λ
i
z
i
coF (x) = F
1
(x) F
1
(x) U
ε
0
(y
0
) 6=
U
ε
0
(y
0
) V F
1
(x) V 6= Ø
F
1
F : X P (Y )
¯
F : X C(Y ), (
¯
F )(x) =
F (x),
V Y x
0
¯
F (x
0
) V 6= Ø
y
0
(
¯
F (x
0
) V ) V
ε
0
> 0 U
ε
0
(y
0
) V
y
0
¯
F (x
0
) {y
n
} F (x
0
)
y
n
y
0
n
0
n n
0
||y
n
y
0
|| < ε
0
y
n
U
ε
0
(y
0
) V
F (x
0
)V 6= Ø U
ε
(x
0
)
F (x) V 6= Ø x U
ε
(x
0
)
F (x)
¯
F (x)
¯
F (x) V 6= Ø
¯
F
������
                                    k
                                    �                               k
                                                                    �                        k
                                                                                             �                                  k
                                                                                                                                �
||y0 −z0 || = ||y0 −                          λi zi || = ||                     λi y i −              λi zi || = ||                         λi (yi −zi )|| ≤
                                        i=1                             i=1                  i=1                                    i=1

                                             k
                                             �                                           k
                                                                                         �
                                    ≤              λi ||yi − zi || < ε0                               λi = ε0 .
                                             i=1                                             i=1


   �������������� z ∈ U (y )� ��� � ��������� ��� λ U ⊂                                                                                     �
                                                                                                                                            k
                                              0                ε0       0                                                                             i       i

U (y )�
                                                                                                                                            i=1
       0
   ���������� ������ ��������� V = F (U ), i = 1, . . . , k� ����
 ε0
                                                                                                  −1
                                                                                     i                     i

������ W = � V � �������� ���� V � �������� ���������� ����
                           k
                                         i                                           i

������ ��� ��������� W �= Ø� ��� ��� ����� x ∈ W �
                        i=1
                                                                                                                0
   ����� ����� x ∈ W � �������� ��� F (x) ∩ V �= Ø� �� �����                                      1
������� F ������ F (x) ∩ U �= Ø, i = 1, . . . , k� ������������
                   −1

��� ���������� ����� z ∈ (F (x) ∩ U )� ��� ��� z ∈ U � �� z =
                                                                            i
                                                       i                                 i                                  i               i                 0

             λ U ⊂ U (y )� ��������� z ∈ F (x)� �� z =
�k        �        k                                    �                                                                                       k
   λz ⊂
      i i                  i        i             ε0       0λz ∈                              i                                     0                     i i

coF (x) = F (x)� �������������� F (x) ∩ U (y ) �= ∅�
i=1            i=1                                                                                                                              i=1
                   1                                                             1                         0
   ������������ U (y ) ⊂ V � �������� F (x) ∩ V �= Ø� ��� � ���
                                                                                                      ε0
                                                   0                                                  1
��������� ����������������� ����� ������������� �����������
                                             ε0


F�
 1
   ����� �� ���� ������������ ����������� F : X → P (Y ) �
�������������� ������ �� ��������� F̄ : X → C(Y ), (F̄ )(x) =
F (x), ����� �������� ��������������� ����� ������������
�������������
   ��������������� ���������� ������������ �������� ����
������ V ⊂ Y � ����� x ������ ��� F̄ (x ) ∩ V �= Ø� �����       0                                          0
���������� ����� y ∈ (F̄ (x ) ∩ V )� ��� ��� ��������� V � ���
                                              0                     0
������ �� �������� ����� ε > 0 ������ ��� U (y ) ⊂ V � ��� ���  0                                                       0
y ∈ F̄ (x )� �� ���������� ������������������ {y } ⊂ F (x ) ���
                                                                                                               ε0
 0             0                                                                                                                                      0
���� ��� y → y � ����� �������� ����� ����� n � ��� ��� ������
                                                                                                                            n
                                0                                                                                   0
n ≥ n ����� ��������� ������������ ||y − y || < ε � ��������
               n
           0                                                                                                    0                       0
������� y ∈ U (y ) ⊂ V �
                                                                                                      n
                                         0
   ����� F (x )∩V �= Ø� � ���������� �������� ����������� U (x )
               n               ε0
                       0                                                                                                                                          0
������ ��� F (x) ∩ V �= Ø ��� ����� ����� x ∈ U (x )� ��� ���
                                                                                                                                                          ε
                                                                                                                                        0
F (x) ⊂ F̄ (x)� �� F̄ (x) ∩ V �= Ø� �������������� ������������
                                                                                                                                ε


����������� F̄ � �������������� ������