Введение в теорию многозначных отображений. Часть 1 (однозначные аппроксимации и сечения). Гельман Б.Д. - 21 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

F x X
δ(x) x
0
U
δ(x)
(x)
F (x
0
) U
ε
2
(F (x))
0 < δ(x) < ε η(x) =
1
4
δ(x)
τ = {U
η(x)
(x)}
xX
σ = {V
j
= U
η(x
j
)
(x
j
)}
jJ
{ϕ
j
}
jJ
F
σ
F
σ
(x) =
P
jJ
ϕ
j
(x)coF (V
j
).
F
σ
x
X ϕ
j
(x) 6= 0
x V
j
j
1
, j
2
, ..., j
s
ϕ
j
(x) 6= 0 F
σ
(x) =
s
P
i=1
ϕ
j
i
(x)coF (V
j
i
), x
s
T
i=1
V
j
i
. F (x) F (V
j
i
) coF (V
j
i
) F (x)
F
σ
(x).
F
σ
x V
j
i
X i = 1, 2, ..., s. V
j
i
= U
η
x
i
(x
i
) i =
1, 2, ..., s. η
x
k
= max
1is
η
x
i
x U
η
x
k
(x
i
)
i = 1, 2..., s. x
i
U
2η
k
(x
k
) i = 1, 2..., s.
V
j
i
U
3η
x
k
(x
k
) U
δ(x
k
)
(x
k
)
U
δ(x
k
)
(x
k
) x
0
V
j
i
F (x
0
) U
ε
2
(F (x
k
).
F (x
k
)
F
σ
(x) =
s
X
i=1
ϕ
j
i
(x)coF (V
j
i
) U
ε
2
(F (x
k
)).
F
ε
(x) = F
σ
(x)
F
σ
(x) U
ε
2
(F (x
k
)) U
ε
(F (x
k
).
ρ(x, x
k
) < η
s
< ε Γ(F
ε
) U
ε
(Γ(F )).
F
σ
(x) co{coF (V
j
1
), ..., coF (V
j
s
)} coF (X).
��� F � ��� ����� ����� x ∈ X ���������� ������������� �����
δ(x) ������ ��� ��� ����� ����� x ∈ U (x) ��������� �����                             �

����� F (x ) ⊂ U (F (x))� ��� ����������� �������� ����� ����
                                                                                                      δ(x)
                     �                 ε

����� ��� 0 < δ(x) < ε� ����� η(x) = δ(x)� ���������� ���
                                       2
                                                                                                          1

������ �������� τ = {U (x)} � ������� �� ���� ��������
                                                                                                          4


�������� ����������� σ = {V = U (x )} � ����� �������
                                                             η(x)                 x∈X
                                                                                          η(xj )
         �������� ����������� ��������� �������� �����������
                                                                          j                               j         j∈J
{ϕ }
����� ���������   ���������� ������������ ����������� F � ���
      j j∈J


            ϕ (x)coF (V ). ��������� ��� ��� ����������� �������
                                                                                                                                      σ
         �
F (x) =
 σ                       j                          j

�� ��������������� ������
                 j∈J

   �������� ��� ����������� F ���������� ������� �� ����� x
� ����������� ����� �� X � �������� ϕ (x) �= 0� ����� � ������
                                                                              σ


������ ����� x ∈ V � ����� j , j , ..., j � ������� ���� ��������
                                                                                                  j
                                            j                         1       2             s

��� ������� ϕ (x) �= 0� ����� F (x) = � ϕ (x)coF (V ), ��� x ∈
                                                                                                      s
                                 j                                            σ                                ji                ji
                                                                                                  i=1

   V . �������������� F (x) ⊂ F (V ) ⊂ coF (V )� ����� F (x) ⊂
�s
       ji                                                                             ji                              ji
i=1
Fσ (x).
   �������� ��� ����������� F ������������� ������� �� �����
x ∈ V ⊂ X � i = 1, 2, ..., s. ��������� V = U (x )� ��� i =
                                                                              σ


1, 2, ..., s. ����� η = max η � ����� x ∈ U (x ) ��� ������
            ji                                                                                                ji           ηxi   i
                                       xk                             xi                                             ηxk    i
                                                        1≤i≤s
i = 1, 2..., s. ����� x ∈ U (x ) ��� ������ i = 1, 2..., s. ��������
                                                            2ηk
������� V ⊂ U (x ) ⊂ U (x )� � ���� ����������� ������
                                            i                         k
                                     3ηxk                         δ(xk )
���� U (x ) ��� ����� ����� x ∈ V ��������� ���������
                  ji                            k                                 k
                                                                                  �
            δ(xk )       k                                                                   ji

                                                    F (x� ) ⊂ U 2ε (F (xk ).
��� ��� ��������� F (x ) � �������� ��                  k
                                                s
                                                �
                         Fσ (x) =                           ϕji (x)coF (Vji ) ⊂ U 2ε (F (xk )).
                                                i=1

���������� ����������� F (x) = F (x)� ��������� ��� ��� �����
������� ������������� �������� ������� � � �� ������� � �����
                                                                  ε                   σ


���� �� ����� ���
                                      Fσ (x) ⊂ U 2ε (F (xk )) ⊂ Uε (F (xk ).
��� ��� ρ(x, x ) < η < ε� �� ������ Γ(F ) ⊂ U (Γ(F )).
  ������� � �������� ������ �� ����� ���
                             k              s                                                         ε               ε



                     Fσ (x) ⊂ co{coF (Vj1 ), ..., coF (Vjs )} ⊂ coF (X).
������� ���������