Дифференциальные динамические модели. Герасимов Б.И - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

длительности «кредитных каникул».
3. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
В этой главе мы рассмотрим некоторые примеры применения теории дифференциальных уравнений в непрерывных
моделях экономики, где независимой переменной является время
t
. Такие модели достаточно эффективны при
исследовании эволюции экономических систем на длительных интервалах времени, эти системы являются предметом
исследования экономической динамики.
3.1. ЭФФЕКТИВНОСТЬ РЕКЛАМЫ
Предположим, что торговыми учреждениями реализуется продукция В, о которой в момент времени t из числа
потенциальных покупателей N знает лишь x покупателей. Предположим далее, что для ускорения сбыта продукции В были
даны рекламные объявления по радио и телевидению. Последующая информация о продукции распространяется среди
покупателей посредством общения друг с другом. С большой степенью достоверности можно считать, что после рекламных
объявлений скорость изменения числа знающих о продукции В пропорциональна как числу знающих о товаре покупателей,
так и числу покупателей, о нём ещё не знающих.
Если условиться, что время отсчитывается после рекламных объявлений, когда о товаре узнало
γ
N
человек, то
приходим к дифференциальному уравнению:
)( xNkx
dt
dx
−=
(3.1.1)
с начальными условиями
γ
=
N
x
при
0
=
t .
В
уравнении
(3.1.1)
коэффициент
k –
это
положительный
коэффициент
пропорциональности
.
Интегрируя
уравнение
(3.1.1),
находим
,
что
.ln
1
Ckt
xN
x
N
+=
−
Полагая
1
CNC =
,
приходим
к
равенству
:
tkN
Ae
x
N
x
=
−
,
где
.
1
C
eA =
Если
последнее
уравнение
разрешить
относительно
х
,
то
получим
соотношение
tkNtkN
tkN
eA
NA
Ae
Ae
Nx
−
+
=
+
=
1
. (3.1.2)
В
экономической
литературе
уравнение
(3.1.2)
обычно
называют
уравнением
логистической
кривой
.
Если
учесть
теперь
начальные
условия
,
то
уравнение
(3.1.1)
перепишется
в
виде
( )
tkN
e
N
x
−
−γ+
=
11
.
В
заключение
отметим
,
что
к
уравнению
(3.1.1)
сводится
,
в
частности
,
к
задаче
о
распространении
технологических
новшеств
.
3.2.
СПРОС
И
ПРЕДЛОЖЕНИЕ
Как
известно
,
спрос
и
предложение
–
экономические
категории
товарного
производства
,
возникающие
и
функционирующие
на
рынке
в
сфере
товарного
обмена
.
При
этом
спрос
–
представленная
на
рынке
потребность
в
товарах
,
а
предложение
–
продукт
,
который
есть
на
рынке
или
может
быть
доставлен
на
него
.
Одним
из
экономических
законов
товарного
производства
является
закон
спроса
и
предложения
,
который
заключается
в
единстве
спроса
и
предложения
и
их
объективном
стремлении
к
соответствию
.
Рассмотрим
следующую
задачу
.
Пусть
в
течение
некоторого
(
достаточно
продолжительного
)
времени
фермер
продаёт
на
рынке
фрукты
(
например
,
яблоки
),
причём
продаёт
их
после
уборки
урожая
,
с
недельными
перерывами
.
Тогда
при
имеющихся
у
фермера
запасах
фруктов
недельное
предложение
будет
зависеть
как
от
ожидаемой
цены
в
наступающей
неделе
,
так
и
от
предполагаемого
изменения
цены
в
последующие
недели
.
Если
в
наступающей
неделе
предполагается
,
что
цена
упадёт
,
а
в
последующие
недели
повысится
,
то
предложение
будет
сдерживаться
при
условии
превышения
ожидаемого
повышения
цен
над
издержками
хранения
.
При
этом
предложение
товара
в
ближайшую
неделю
будет
тем
меньшим
,
чем

Страницы