Дифференциальные динамические модели. Герасимов Б.И - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

0
0
kt
CeQ =
, откуда
0
0
kt
eQC
−
=
.
Отсюда получаем частное решение уравнения (3.3.3) – решение задачи Коши для этого уравнения:
.
)(
0
0
ttk
eQQ
−
=
(3.3.4)
Заметим, что математические модели обладают свойством общности. Например, из результатов биологических опытов
следует, что процесс размножения бактерий также описывается уравнением (3.3.3). Процесс радиоактивного распада тоже
подчиняется закономерности, установленной формулой (3.3.3).
3.4. РОСТ ВЫПУСКА В УСЛОВИЯХ КОНКУРЕНЦИИ
Снимем в рассматриваемой модели предположение о ненасыщаемости рынка. Пусть
)(QPP =
–
убывающая
функция
,
т
.
е
.
с
увеличением
объёма
продукции
на
рынке
цена
на
неё
падает
:
0<
dQ
dP
.
Из
формул
(3.3.1) – (3.3.3)
получаем
нелинейное
дифференциальное
уравнение
первого
порядка
относительно
Q
с
разделяющимися
переменными
:
.)( QQPQ α=
′
(3.4.1)
Поскольку
все
сомножители
в
правой
части
этого
уравнения
положительны
,
0>
′
Q
,
т
.
е
.
функция
)(
tQ
возрастающая
.
Характер
возрастания
функции
определяется
её
второй
производной
.
Из
уравнения
(3.4.1)
получаем
:
+
′
α=
′
+
′
α=
′′
dQ
dP
QPQQ
dQ
dP
QQPQQ )( .
Это
равенство
можно
преобразовать
,
введя
эластичность
спроса
Q
P
dP
dQ
PE =)(
,
откуда
+
′
α=
′′
P
Q
dQ
dP
PQQ 1
или
,
так
как
0<
dP
dQ
,
а
значит
0
<
E ,
окончательно
получаем
:
.
1
1
−
′
α=
′′
E
PQQ
(3.4.2)
Из
уравнения
(3.4.2)
следует
,
что
при
эластичном
спросе
,
т
.
е
.
когда
1>E
,
0>
′
′
Q
,
и
график
функции
)(tQ
имеет
направление
выпуклости
вниз
,
что
означает
прогрессирующий
рост
.
При
неэластичном
спросе
1
<
E
,
0<
′
′
Q
–
направление
выпуклости
функции
)(tQ
вверх
,
что
означает
замедленный
рост
(
насыщение
).
Для
простоты
примем
зависимость
)(tP
в
виде
линейной
функции
(
рис
. 3.4.1):
bQatP
−
=
)(
, 0
>
a ,
.0
>
b
(3.4.3)
Рис. 3.4.1
Рис. 3.4.2
Тогда
уравнение
(3.4.1)
имеет
вид
:
(
)
,QbQaQ −α=
′
(3.4.4)

Страницы