Дифференциальные динамические модели. Герасимов Б.И - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

причём амплитуда этих колебаний затухает со временем.
3.6. ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КЕЙНСА
Рассмотрим простейшую балансовую модель, включающую в себя основные компоненты динамики расходной и
доходной частей экономики. Пусть
)(tY
,
)(tE
,
)(tS
,
)(tI
–
соответственно
национальный
доход
,
государственные
расходы
,
потребление
и
инвестиции
.
Все
эти
величины
рассматриваются
как
функции
времени
t
.
Тогда
справедливы
следующие
соотношения
:
′
=
+=
++=
,)()()(
,)()()()(
,)()()()(
tYtktI
tbtYtatS
tEtItStY
(3.6.1)
где
)(
ta
–
коэффициент
склонности
к
потреблению
(
1)(0 << ta
);
)(tb
–
автономное
(
конечное
)
потребление
;
)(tk
–
норма
акселерации
.
Все
функции
,
входящие
в
уравнения
(3.6.1),
положительны
.
Поясним
смысл
уравнений
(3.6.1).
Сумма
всех
расходов
должна
быть
равной
национальному
доходу
–
этот
баланс
отражён
в
первом
уравнении
.
Общее
потребление
состоит
из
внутреннего
потребления
некоторой
части
национального
дохода
в
народном
хозяйстве
плюс
конечное
потребление
–
эти
составляющие
показаны
во
втором
уравнении
.
Наконец
,
размер
инвестиций
не
может
быть
произвольным
,
он
определяется
произведением
нормы
акселерации
,
величина
которой
характеризуется
уровнем
технологии
и
инфраструктуры
данного
государства
,
на
предельный
национальный
доход
.
Будем
полагать
,
что
функции
)(ta
,
)(tb
,
)(tk
,
,)(tE
являющиеся
характеристиками
функционирования
и
развития
государства
,
заданы
.
Требуется
найти
динамику
национального
дохода
,
т
.
е
.
Y
как
функцию
времени
t
.
Подставим
выражения
для
)(tS
из
второго
уравнения
и
)(tI
из
третьего
уравнения
в
первое
уравнение
.
После
приведения
подобных
получаем
дифференциальное
неоднородное
линейное
уравнение
первого
порядка
для
функции
)(tY
:
)(
)()(
)(
)(
)(1
)(
tk
tEtb
tY
tk
ta
tY
+
−
−
=
′
. (3.6.2)
Проанализируем
более
простой
случай
,
полагая
основные
параметры
задачи
)(ta
,
)(tb
,
)(tk
,
)(tE
постоянными
числами
.
Тогда
уравнение
(3.6.2)
упрощается
до
случая
линейного
дифференциального
уравнения
первого
порядка
с
постоянными
коэффициентами
:
k
Eb
tY
k
a
tY
+
−
−
=
′
)(
1
)(
. (3.6.3)
Как
известно
,
общее
решение
неоднородного
уравнения
есть
сумма
какого
-
либо
его
частного
решения
и
общего
решения
соответствующего
однородного
уравнения
.
В
качестве
частного
решения
уравнения
(3.6.3)
возьмём
так
называемое
равновесное
(
стационарное
)
решение
,
когда
0=
′
Y
,
т
.
е
.:
a
Eb
Y
p
−
+
=
1
. (3.6.4)
Проанализировав
данное
выражение
видим
,
что
эта
величина
положительна
.
Общее
решение
однородного
уравнения
задаётся
формулой
t
k
a
Cey
−
=
1
~
,
так
что
общее
решение
уравнения
(3.6.3)
имеет
вид
:
t
k
a
Ce
a
Eb
tY
−
+
−
+
=
1
1
)(
. (3.6.5)
Интегральные
кривые
уравнения
(3.6.3)
показаны
на
рис
. 3.6.1.
Если
в
начальный
момент
времени
p
YY <
0
,
то
0
0
<−=
p
YYC
и
кривые
уходят
вниз
от
равновесного
решения
(3.6.4),
т
.
е
.
национальный
доход
со
временем
падает
при
заданных
параметрах
задачи
a
,
b
,
k
,
E
,
так
как
показатель
экспоненты
в
(3.6.5)
положителен
.
Если
же
p
YY >
0
,
то
С
> 0
и
национальный
доход
растёт
во
времени
;
интегральные
кривые
уходят
вверх
от
равновесной
прямой
p
YY =
.

Страницы