Дифференциальные динамические модели. Герасимов Б.И - 41 стр.

UptoLike

Рис. 3.6.1
Согласно классификации уравнение (3.6.3) является автономным. На фазовой плоскости точка
p
YY =
представляет
собой точку неустойчивого равновесия.
3.7. НЕОКЛАССИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОСТА
Пусть
),( LKFY =
национальный доход, где F однородная производственная функция первого порядка
),(),( LKtFtLtKF =
; K объём капиталовложений (производственных фондов); L объём затрат труда. Введём в
рассмотрение величину фондовооружённости
L
K
k =
, тогда производительность труда выражается формулой:
)1,(
),(
)( kF
L
LKF
kf ==
. (3.7.1)
Рассматриваемая задача заключается в описании динамики фондовооруженности, т.е. представлении ее как функции
от времени t. Поскольку любая модель базируется на некоторых предпосылках, нам нужно сделать ряд предположений и
ввести ряд определяющих параметров. В данном случае будем полагать, что верны следующие предположения:
1) имеет место естественный прирост во времени трудовых ресурсов
;LL α=
(3.7.2)
2) инвестиции расходуются на увеличение производственных фондов и на амортизацию, т.е.
,kKI β+
=
(3.7.3)
где
β
норма амортизации.
Тогда, если
λ
норма инвестиций, то
kKYI β+
=λ=
, или
.),( kLKFK βλ=
(3.7.4)
Из определения фондовооружённости
k
вытекает, что
.lnlnln LKk =
Дифференцируя это равенство по
t
имеем:
L
L
K
K
k
k
=
.
Подставив в это соотношение выражения (3.7.1) и (3.7.3), получаем уравнение относительно неизвестной функции
:k
,)()( kkfk β+αλ=
(3.7.5)
где
)(kf
определена по формуле (3.7.1).
Полученное соотношение (3.7.5) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка с
разделяющимися переменными (которое является автономным). Выделим стационарное решение этого уравнения из
условия
,0=
k
тогда следует, что: