Дифференциальные динамические модели. Герасимов Б.И - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

откуда
(
)
.2bQaQQ −
′
α=
′
′
(3.4.5)
Из соотношений (3.4.4) и (3.4.5) получаем:
0=
′
Q
при
0
=
Q
и
при
b
a
Q =
;
0>
′
′
Q
при
b
a
Q
2
<
и
0
<
′
′
Q
при
b
a
Q
2
>
;
b
a
Q
2
=
–
точка
перегиба
графика
функции
)(tQQ
=
.
Приведённый
на
рис
. 3.4.2
график
этой
функции
(
одной
из
интегральных
кривых
дифференциального
уравнения
(3.4.4))
носит
название
логистической
кривой
.
Аналогичные
кривые
характеризуют
и
другие
процессы
,
например
,
размножение
бактерий
в
ограниченной
среде
обитания
,
динамику
эпидемий
внутри
ограниченной
общности
биологических
организмов
.
3.5.
МОДЕЛЬ
РЫНКА
С
ПРОГНОЗИРУЕМЫМИ
ЦЕНАМИ
Рассмотрим
модель
рынка
с
прогнозируемыми
ценами
.
В
простых
моделях
рынка
спрос
и
предложение
обычно
полагают
зависящими
только
от
текущей
цены
на
товар
.
Однако
спрос
и
предложение
в
реальных
ситуациях
зависят
ещё
и
от
тенденции
ценообразования
и
темпов
изменения
цены
.
В
моделях
с
непрерывными
и
дифференцируемыми
по
времени
t
функциями
эти
характеристики
описываются
соответственно
первой
и
второй
производными
функции
цены
)(tP
.
Рассмотрим
конкретный
пример
.
Пусть
функции
спроса
D
и
предложения
S
имеют
следующие
зависимости
от
цены
Р
и
её
производных
:
;1823)( +−
′
−
′
′
= PPPtD
.334)( ++
′
+
′
′
= PPPtS
Принятые
в
(3.5.1)
зависимости
вполне
реалистичны
:
поясним
это
на
слагаемых
с
производными
функции
цены
.
1.
Спрос
«
подогревается
»
темпом
изменения
цены
:
если
темп
роста
увеличивается
( 0>
′
′
P ),
то
интерес
рынка
к
товару
становится
больше
,
и
наоборот
.
Быстрый
рост
цены
отпугивает
покупателя
,
поэтому
слагаемое
с
первой
производной
функции
цены
входит
со
знаком
минус
.
2.
Предложение
в
ещё
большей
мере
усиливается
темпом
изменения
цены
,
поэтому
коэффициент
при
′
′
в
функции
)(tS
больше
,
чем
в
.)(tD
Рост
цены
также
увеличивает
предложение
,
поэтому
слагаемое
,
содержащее
P
′
входит
в
выражение
для
)(tS
со
знаком
плюс
.
Требуется
установить
зависимость
цены
от
времени
.
Поскольку
равновесное
состояние
рынка
характеризуется
равенством
SD
=
,
приравняем
правые
части
уравнений
(3.5.1).
После
приведения
подобных
получаем
:
.1552 =+
′
+
′
′
PPP
(3.5.2)
Соотношение
(3.5.2)
представляет
собой
линейное
неоднородное
дифференциальное
уравнение
второго
порядка
относительно
функции
.)(tP
Общее
решение
такого
уравнения
состоит
из
суммы
какого
-
либо
его
частного
решения
и
общего
решения
соответствующего
однородного
уравнения
.
Характеристическое
уравнение
имеет
вид
:
.052
2
=++ kk
(3.5.3)
Его
корни
–
комплексно
-
сопряжённые
числа
:
ik 21
2,1
±−=
и
,
следовательно
,
общее
решение
однородного
уравнения
даётся
формулой
(
)
tCtCetP
t
2sin2cos)(
~
21
+=
−
,
где
1
C
и
2
C
–
произвольные
постоянные
.
В
качестве
частного
решения
неоднородного
уравнения
(3.5.2)
возьмём
решение
АPP ==
ч
.
р
–
постоянную
величину
как
установившуюся
цену
.
Подстановка
в
уравнение
(3.5.2)
даёт
значение
3
ч
.
р
=P
.
Таким
образом
,
общее
решение
уравнения
(3.5.2)
имеет
вид
:
(
)
.32sin2cos)(
21
++=
−
tCtCetP
t
(3.5.4)
Нетрудно
видеть
,
что
3)(
ч
.
р
=→ PtP
при
∞
→
t
т
.
е
.,
все
интегральные
кривые
имеют
горизонтальную
асимптоту
3
=
P
и
колеблются
около
неё
.
Это
означает
,
что
все
цены
стремятся
к
стационарной
цене
3
ч
.
р
=P
с
колебаниями
около
неё
,
(3.5.1)

Страницы