Дифференциальные динамические модели. Герасимов Б.И - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

большим предполагается в дальнейшем повышение цены. И наоборот, если в наступающей неделе цена будет высокой, а
затем ожидается её падение, то предложение увеличится тем больше, чем большим предполагается понижение цены в
дальнейшем.
Если обозначить через
р
цену на фрукты в наступающей неделе, а через
р
′
– так называемую тенденцию
формирования цены (производную цены по времени), то как спрос, так и предложение будут функциями указанных величин.
При этом, как показывает практика, в зависимости от разных факторов спрос и предложение могут быть различными
функциями цены и тенденции формирования цены. В частности, одна из таких функций задаётся линейной зависимостью,
математически описываемой соотношением
cbppay ++
′
=
, где
cba ,,
– некоторые вещественные постоянные. А тогда
если, например, в рассматриваемой задаче цена на фрукты вначале составляла 1 р. за 1 кг, через t недель она была уже p(t) p.
за 1 кг, а спрос
g
и предложение s определялись соответственно соотношениями:
3924 +−
′
=
ppg
,
1244 −+
′
=
pps
,
то для того, чтобы спрос соответствовал предложению, необходимо выполнение равенства:
s
g
=
,
12443924 −+
′
=+−
′
pppp
.
Отсюда приходим к дифференциальному уравнению:
.10
1
dt
p
dp
−=
−
Интегрируя, находим, что
10
10
+=
− t
Cep
. Если же учесть начальные условия
1
=
p
при
1
→
t ,
то
окончательно
получаем
:
109
10
+−=
− t
ep
. (3.2.1)
Таким
образом
,
если
требовать
,
чтобы
между
спросом
и
предложением
всё
время
сохранялось
равновесие
,
необходимо
,
чтобы
цена
изменялась
в
соответствии
с
формулой
(3.2.1).
3.3.
МОДЕЛЬ
ЕСТЕСТВЕННОГО
РОСТА
ВЫПУСКА
Будем
полагать
,
что
некоторая
продукция
продаётся
по
фиксированной
цене
Р
.
Обозначим
через
)(tQ
количество
продукции
,
реализованной
на
момент
времени
t
,
тогда
на
этот
момент
времени
получен
доход
,
равный
)(tPQ
.
Пусть
часть
указанного
дохода
расходуется
на
инвестиции
в
производство
реализуемой
продукции
:
),()( tmPQtI
=
(3.3.1)
где
–
норма
инвестиции
,
постоянное
число
,
причём
10
<
<
m .
Если
исходить
из
предположения
о
ненасыщаемости
рынка
(
или
о
полной
реализации
производимой
продукции
),
то
в
результате
расширения
производства
будет
получен
прирост
дохода
,
часть
которого
опять
будет
использована
для
расширения
выпуска
продукции
.
Это
приведёт
к
росту
скорости
выпуска
(
акселерации
),
причём
скорость
выпуска
пропорциональна
увеличению
инвестиций
:
,IlQ =
′
(3.3.2)
где
l
1
–
норма
акселерации
.
Подставив
в
(3.3.2)
формулу
(3.3.1),
получим
:
kQQ =
′
,
где
.lmPk = (3.3.3)
Дифференциальное
уравнение
(3.3.3)
представляет
собой
уравнение
первого
порядка
с
разделяющимися
переменными
.
Общее
решение
этого
уравнения
имеет
вид
:
kt
CeQ =
,
где
С
–
произвольная
постоянная
.
Пусть
в
начальный
момент
времени
0
tt
=
зафиксирован
(
задан
)
объём
выпуска
продукции
0
Q
.
Тогда
из
этого
условия
можно
выразить
постоянную
С
:

Страницы