Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Гиль Л.Б - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

11
ваемые их дифференциалами. Это справедливо и для функций трёх пе-
ременных
(
)
; ;
w f x y z
=
.
0 0 0 0 0 0 0 0
( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )
x y
z f x x y y f x y f x y x f x y y
′ ′
.
Так как
z
∆
и
dz
являются величинами одинакового порядка мало-
сти при
0, 0
x y
∆ → ∆ →
, т.е.
(
)
0, 0
z dz x y
∆ ≈ ∆ ∆
∼ ∼
, то
0 0 0 0 0 0 0 0
( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )
x y
f x x y y f x y f x y x f x y y
′ ′
+ ∆ + ∆ ≈ + ∆ + ∆
.
Последнее соотношение называется линеаризацией функции
( ; )
z f x y
=
в окрестности точки
0 0 0
( ; )
M x y
и применяется в приближён-
ных вычислениях: дифференцируемую функцию можно заменить ли-
нейной функцией в окрестности рассматриваемой точки.
Полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов.
Так для функции двух переменных полный дифференциал:
x y
dz d z d z
= +
.
1.8. Опорные задачи
1.5.1. Найти область определения
D
и область значения Е
функ-
ции:
2
ln( 2 )
z y x x
= − + .
Решение
.
Данная функция определена в тех точках плоскости О
ху
,
в которых
2
2 0
y x x
− + >
или
2
2
y x x
> −
. Точки области, для которых
2
2
y x x
= −
образуют границу области D. Уравнение
2
2
y x x
= −
задаёт
параболу (так как парабола не принадлежит области D, то она изобра-
жена пунктирной линией). Далее, легко проверить непосредственно, что
точки, для которых
2
2
y x x
> −
,
расположены выше параболы. Область
D является открытой (на рис. 2 она заштрихована) и её можно задать с
помощью системы неравенств:
2
:{ , 2 }.
D x x x y
−∞ < < +∞ − < < +∞
−∞ < < +∞ − < < +∞−∞ < < +∞ − < < +∞
−∞ < < +∞ − < < +∞

Страницы