Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Гиль Л.Б - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

13
Рис. 3
1.5.3. Вычислить предел:
2 2
2 2
x 0
y 0
x + y
A
x + y +1 - 1
lim
→
→→
→
→
→→
→
=
==
=
.
Решение
.
Преобразовав выражение под знаком предела, получим:
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
( )( 1 1)
lim
( 1 1)( 1 1)
( )( 1 1)
( 1 1) 2.
lim
lim
( 1)( 1)
x 0
y 0
x 0
x 0
y 0
y 0
x y x y
A
x y x y
x y x y
x y
x y x y
→
→
→
→
→
→
+ + + +
= =
+ + − + + +
+ + + +
+ + + =
=
=
+ − + +
1.5.4. Найти пределы, если они существуют.
1)
2
2
1 2
1
2
1 2
lim 4lim
4 1 8
lim 3
2 1 2lim lim 1 2 2 1
x y
x
y
x y
x y
x y
xy x y
→ →
→
→
→ →
+
+ +
= = =
− ⋅ − ⋅ −
.
2)
2 2
3
2 2
0
0
log (1 )
0
lim
0
x
y
x y
x y
→
→
+ +
=
+
. Положим
22
yxz +=
, тогда
2 2
3
3
2 2
0 0
0
log (1 )
log (1 )
lim lim log
x z
y
x y
z
e
z
x y
→ →
→
+ +
+
= =
+
.
3)
2 2
0
0
0
lim
0
x
y
xy
x y
→
→
=
+
.
Так
как
предел
не
должен
зависеть
от
способа
стремления
к
точке
)
0
,
0
(
,
то
пусть
kx
y
=
(
0
y
→
при
0
x
→
),
тогда
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
0
lim lim lim
(1 ) 1
x x x
y
xy kx kx k
x y x k x x k k
→ → →
→
= = =
+ + + +
,
то
есть
при
разных
k
будем
получать
разные
ответы
,
следовательно
,
данная
функция
в
точке
x
y
y
2
=4(1+x)

Страницы