Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Гиль Л.Б - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

17
1
2 2 2
dz z dx z dy
x y t
dt x dt y dt t
∂ ∂
= ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅
∂ ∂
. Здесь можно заменить
x
и
y
их
выражениями через
t
, тогда:
2ln
4
dz t
t
dt t
= − .
Способ 2) Искомую производную можно найти выразив
z
через
t
:
2 4
ln
z t t
= −
и взять производную по
t
:
2ln
4
dz t
t
dt t
= − .
Однако не следует делать вывода о ненужности формул диффе-
ренцирования сложной функции. Часто приходится искать производ-
ные, когда зависимость
z
от
x
и
y
или зависимость
x
и
y
от
t
неиз-
вестны, что не даёт возможности явно выразить
z
через
t
.
1.5.14. Дана функция
)
,
(
y
x
f
z
=
, где
3
3
, 2 1
x t y t
= = −
. Найти
.
dz
dt
Решение. Функция
z
зависит от
t
через посредство
x
и
y
и явно
выразить
z
через
t
невозможно, поэтому найдём
2 3
2
3
1 1
3
3
dx
t
dt
t
−
= =
,
2
6
dy
t
dt
= и
2
2
3
1
6
3
dz f f
t
dt x y
t
∂ ∂
= ⋅ + ⋅
∂ ∂
.
1.5.15. Найти производные сложных функций:
2
) , sin , cos ; ) , ln( ), ;
x
y
а y u e u x x б u u x y e
υ υ
υ ρ υ
= = = = = − =
Решение
.
а) Здесь
y
− сложная функция одной независимой пе-
ременной х. Пользуясь формулой
...
dz z du z d z d
dx u dx dx dx
υ ω
υ ω
∂ ∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂
, полу-
чим:
2
2 cos ( sin ).
dy y du z d
ue x u e x
dx u dx dx
υ υ
υ
υ
∂ ∂
∂ ∂∂ ∂
∂ ∂
= + = + −
= + = + −= + = + −
= + = + −
∂ ∂
∂ ∂∂ ∂
∂ ∂
б
)
р − сложная функция двух переменных х и у. По общим формулам

Страницы