Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Гиль Л.Б - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

38
Уравнение нормали:
1 2 5
2 4 1
x y z
− + −
= =
− −
.
б) к поверхности
3
3 8
xyz z
− =
в точке
0
M
−
.
Решение. Это случай неявного задания поверхности
( , , ) 0
F x y z
=
, для которого уравнение касательной плоскости в точке
0 0 0 0
( , , )
M x y z
имеет вид:
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
( , ) ( , ) ( , )
( ( ) 0
, , ,
) ) (
F x y F x y F x y
x x y y z z
x y z
z z z
∂ ∂ ∂
− − − =
∂ ∂ ∂
+ + ,
а уравнение нормали:
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
( , ) ( , ) ( , )
, , ,
x y z
x x y y z z
F x y F x y F x y
z z z
− − −
′ ′ ′
= = .
В данном случае
3
( , , ) 3 8.
F x y z xyz z
= − −
Найдём частные производные функции
( , , )
F x y z
в точке
0
M
:
0 0 0
2
3 12; 3 0; 3 3 12.
M M M
F F F
yz xz xy z
x y z
∂ ∂ ∂
= = − = = = − = −
∂ ∂ ∂
Уравнение касательной плоскости
12( 0) 0( 2) 12( 2) 0
x y z
− − + − − + =
или
2 0.
x z
+ + =
Уравнение нормали
2 2
12 0 12
x y z
− +
= =
− −
.
2.6.2. Найти
уравнения касательной прямой и нормальной плоско-
сти в точке
A
кривой отвечающей значению параметра
1
t
=
.
Решение. Напишем уравнения данной кривой в параметрической
форме:
3 2 3
1; 1; 4 3 1.
x t y t z t t
= − = + = − +
Подставив
1
t
=
в эти уравнения, найдём, что
0; 2; 2.
A A A
x y z
= = =

Страницы