Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Гиль Л.Б - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

39
Далее найдём:
2 2
1
1 1
1 1 1
3 3; 2 2; 12 3 9.
t
t t
t t t
dx dy dz
t t t
dt dt dt
=
= =
= = =
= = = = = − =
Подставив эти числа в уравнение касательной, получим искомые урав-
нения касательной в точке
A
:
2 2
.
3 2 9
x y z
− −
= =
Уравнение нормальной плоскости, проходящей через точку
A
, имеет
вид
x y z
+ − + − =
или
3 2 9 22 0.
x y z
+ + − =
2.6.3.
Исследовать на экстремум функцию
3 3
3
z x y xy
= + − .
Решение. Частные производные
2
3( )
x
z x y
′
= −
,
2
3( )
y
z y x
′
= −
об-
ращаются в нуль в точках
0
(0, 0)
M и
1
(1, 1)
M . Других подозрительных
на экстремум точек нет.
Найдём вторые производные
6 , 3, 6
xx xy yy
z x z z y
′′ ′′ ′′
= = − =
. В точке
0
M
имеем
9 0
∆ = − <
, следовательно, в этой точке нет экстремума. В
точке
1
M
27 0
∆ = >
, причем
6 0
xx
z
′′
= >
, следовательно, в точке
1
M
функция имеет минимум
min 1
( ) 1
z M
= −
.
2.6.4.
Исследовать на экстремум функцию
2 2
3 6
z x y x xy y
= + − − −
.
Решение. Решая систему
3 2 0,
6 2 0.
x
y
z x y
z x y
′
= − − =
′
= − − =
, найдём единствен-
ную стационарную точку
0
(0, 3)
M . Других критических точек нет. На-
ходим вторые частные производные
2,
xx
z
′′
= −
2, 1
yy xy
z z
′′ ′′
= − = −
. В точке
0
M
экстремум есть, так как
2 ( 2) 1 3 0
∆ = − ⋅ − − = >
, а поскольку
0
xx
z
′′
<

Страницы