ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
41
Решение. Построим данные кривые (рис. 5). Точки, в которых
функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут нахо-
диться как внутри области, так и на её границе.
Рис. 5
Если функция принимает наиболь-
шее (наименьшее) значение во внут-
ренней точке области, то в этой точ-
ке частные производные
2
6 6
z
x y
x
∂
= −
∂
,
6 6
z
x y
y
∂
= − +
∂
равны
нулю (как и в точке экстремума).
Решив систему уравнений
2
6 6 0,
6 6 0;
x y
x y
− =
− + =
, найдём две точки
(
)
0;0
O и
(
)
1;1
M , в которых обе частные производные равны нулю. Первая из них
принадлежит границе области. Следовательно, если функция
z
прини-
мает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области,
то это может быть только в точке
(
)
1;1
M . Перейдём к исследованию
функции на границе области.
На отрезке
OA
имеем
0
x
=
, и поэтому на этом отрезке
2
3 , (0 2)
z y y
= ≤ ≤
– возрастающая функция от одной переменной
y
,
наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка
OA
.
На отрезке
AB
имеем
2
y
= −
, и поэтому на отрезке
AB
функция
3 2 3
2 6 2 3 2 2 12 12
z x x x x
= − ⋅ + ⋅ = − +
(0 2)
x
≤ ≤
представляет собой
функцию одной переменной x, её наибольшее и наименьшее значения
находятся среди её значений в критических точках на концах отрезка.
А (0;2)
)
(
2;2
Q
B (2;2)
M (1;1)
P (1;1/2)
y
x
1
2
1
2
0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
