Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Гиль Л.Б - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

42
Находим производную
2
' 6 12.
z x
= −
Решаем уравнение
' 0
z
=
или
2
6 12 0
− =
и находим
2.
x = ± Внутри отрезка
(0 2)
≤ ≤
имеется
лишь одна критическая точка
2
x =
; соответствующей точкой отрезка
AB
является точка
( 2;2).
Q
Итак, из всех значений функции
z
на отрезке
AB
наибольшее и
наименьшее находятся среди её значений в точках
A
,
Q
и
B
.
На дуге
OB
параболы
2
1
2
y x
=
имеем:
2
3 2 2
1 1
2 6 3 ,
2 2
z x x x x
= − +
т.е.
3 2
' 3 3 0
z x x
= − =
или
2
( 1) 0
x x
− =
. На-
ходим его корни:
0
=
и
1
x
=
. Таким образом, из всех значений функ-
ции
z
на дуге
OB
наибольшее и наименьшее находятся среди её значе-
ний в точках
O
,
P
и
B
.
Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции
3 2
2 6 3
z x xy y
= − + в данной замкнутой области находятся среди её зна-
чений в точках
O
,
A
,
Q
,
B
,
P
и
M
, т.е. среди значений:
( ) (0;0) 0;
( ) (0;2) 12;
( ) ( 2;2) 12 8 2;
( ) (2;2) 4;
1 1
( ) (1; )
2 4
( ) (1;1) 1.
z O z
z A z
z Q z
z B z
z P z
z M z
≡ =
≡ =
≡ = −
≡ =
≡ = −
≡ = −
Наибольшее и наименьшее из них равны 12 и
1
−
. Они и являются
наибольшими и наименьшими значениями данной функции в данной
замкнутой области: z
наим
.
=-1, z
наиб
.
=12.

Страницы