Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Гиль Л.Б - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

56
Производной
скалярной функции
(
)
; ;
U x y z
по направлению
l
в
точке
(
)
0 0 0 0
M x y z
называется конечный предел отношения прираще-
ния
U
∆
функции при перемещении из точки
(
)
0 0 0 0
M x y z
в направле-
ние вектора
l
к величине этого перемещения
ρ
при стремлении вели-
чины перемещения к нулю:
0
lim .
U U
l
ρ
ρ
→
∂ ∆
=
∂
Производная по направлению вычисляется по формуле
cos cos cos ,
U U U U
l x y z
α β γ
∂ ∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅ + ⋅
∂ ∂ ∂ ∂
где
, ,
U U U
x y z
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
– частные производные функции
(
)
; ;
U x y z
, вычис-
ленные в точке
0
M
,
cos , cos , cos
α β γ
– направляющие косинусы на-
правления
l
или что тоже – координаты его орта
{ }
0
cos ,cos ,cos
l
=
α β γ
.
Если известны координаты вектора
{
}
, , ,
l x y z
=
то его направ-
ляющие косинусы находятся по формулам:
2 2 2
cos , cos , cos , .
x y z
l x y z
l l l
α β γ
= = = = + +
В частном случае производная плоского скалярного поля
(
)
;
U x y
в точке
(
)
0 0 0
;
M x y
по направлению, составляющему с осями координат
Ox
и
Oy
углы
α
и
β
соответственно, выражается формулой:
cos cos .
U U U
l x y
α β
∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅
∂ ∂ ∂
Так как на плоскости углы
α
и
β
связаны соотношением
2
π
β α
= −
, то

Страницы