Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Гиль Л.Б - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

58
Примечание: частные производные функции
U
вычисляются в
точке
0
.
M
Сопоставив определения вектора-градиента и понятия производ-
ной по направлению и линий (поверхностей) уровня, можно сделать
следующие важные выводы, объясняющие суть вектора-градиента:
1.
Вектор-градиент в каждой точке поля направлен перпендику-
лярно к линии (поверхности) уровня, проходящей через данную точку.
2.
Величина производной в точке по направлению есть проекция
вектора-градиента поля в данной точке на данное направление.
3.
Величина вектора-градиента (его модуль) есть наибольшая из
всех производных в данной точке по всем направлениям.
4.
Направление вектора-градиента при этом есть направление, в
котором поле растет с наибольшей скоростью.
Свойства градиента:
(
)
0
1 . .
ϕ ψ ϕ ψ
+ = +
(
)
0
2 . .
grad grad grad
ϕ ψ ϕ ψ ψ ϕ
⋅ = ⋅ +
(
)
(
)
0 '
3 . .
grad f f grad
ϕ ϕ ϕ
= ⋅
(
)
0 ' '
4 . , .
grad f f grad f grad
ϕ ψ
ϕ ψ ϕ ψ
= ⋅ + ⋅
3.5. Опорные задачи
3.5.1.
Найти и изобразить линии и поверхности уровня скалярных
полей.
1.
2 2
.
U x y
= −
Решение
. Семейство линий уровня определяется уравнением:
2 2
2 2
, 1.
x y
x y C
C C
− = ⇒ − =

Страницы