Дифференциальные уравнения. Гиль Л.Б - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

15
Разделяем
переменные
,
умножив
обе
части
уравнения
на
1
x
dx
e
+
.
Заме
-
тим
сразу
,
что
множитель
(
)
1
e
+
в
нуль
нигде
не
обращается
,
значит
особых
решений
нет
.
Переменные
разделены
,
можно
интегрировать
:
(
)
( )
2
1
2 ln 1
1 1
x
x
x
x x
d e
e dx
ydy y e C
e e
+
= =
⇒
= + +
+ +
∫ ∫ ∫
.
Убедиться
в
правильности
общего
интеграла
можно
подстановкой
его
в
исходное
ДУ
.
Продифференцируем
найденное
выражение
:
( )
2 1 2
1
x
x x
x
e
yy e yy e
e
′ ′
=
⇒
+ =
+
.
Получим
исходное
уравнение
.
1.1.12. Показать
,
что
функция
y
,
определяемая
уравнением
2 2
4
x y
− =
,
является
интегралом
дифференциального
уравнения
x
y
y
′
=
.
Решение
.
Продифференцировав
обе
части
равенства
по
перемен
-
ной
x
,
получим
: 022
=
′
−
yyx ,
откуда
y
x
y =
′
.
1.1.13. Найти
общий
интеграл
уравнения
2 2
cos sin 0
y ctg x dx x tg y dy
+ =
.
Решение
.
Разделим
переменные
в данном
уравнении
,
поделив
обе
его
части
на
выражение
2 2
cos sin
y x
⋅ :
2 2
0
sin cos
ctgx tgy
dx dy
x x
+ =
.
Интегрируя обе
части
данного
уравнения
,
получим
:
2 2
sin cos
ctgx tgy
dx dy C
x x
+ =
∫ ∫
,
откуда
2 2
2 2
с
tg x tg y
C
−
+ =
.

Страницы