Дифференциальные уравнения. Гиль Л.Б - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

16
Воспользуемся
тем
,
что
С
–
произвольная
постоянная
и
заменим
С
на
2
C
.
Тогда
2 2
tg y ctg x C
− =
.
Это
и
есть
общий
интеграл
данного
уравнения
.
1.1.14. Проинтегрировать
дифференциальное
уравнение
( )
2
3
3 2ln .
dy x x y dx
= −
Решение
.
Разделяем
переменные
,
предполагая
0,
y
и
интегриру
-
ем
:
( )
2 3
1
2ln ,
3
dy
x x dx
y
⋅ = −
2 3
1
2 ln .
3
y dy xdx xdx
−
= −
∫ ∫ ∫
Последнее
сла
-
гаемое
интегрируем
“
по
частям
”.
В
результате
имеем
( )
2
3
2 ln 1 .
2
x
y x x C
= − − +
Это
общий
интеграл
уравнения
.
Уравнения, приводящиеся к уравнениям
с разделяющимися переменными
1.1.15. Решить
уравнение
(
)
sin .
y y x
′
= +
Решение
.
Введём
новую
переменную
z x y
= +
,
где
( )
z z x
=
–
ис
-
комая
функция
.
Тогда
, 1
y z x y z
′ ′
= − = −
и
уравнение
примет
вид
1 sin
z z
′
− =
.
Это
уравнение
с
разделяющимися
переменными
.
Найдём
общее
решение
.
Так
как
,
dz
z
dx
′
=
то
sin 1
dz
z
dx
= +
.
Разделяем
перемен
-
ные
,
интегрируем
:
,
sin 1
dz
dx
z
=
+
sin 1
dz
x C
z
= +
+
∫
.
Интеграл
в
левой
час
-
ти
равенства
найдём
с
помощью
универсальной
тригонометрической
подстановки
,
2
z
tg t
=
2
2
,
1
dt
dz
t
=
+
2
2
sin :
1
t
z
t
=
+
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2
2 2
2 2 1 1
2
sin 1 1
1
1 1
1
dz dt dt
t d t
t
z t
t
t
t
−
= = = + + = −
+ +
+
+ +
+
∫ ∫ ∫ ∫
.

Страницы