Дифференциальные уравнения. Гиль Л.Б - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

18
ти уравнения:
ln ln
t x C
= +
или
ln( ).
t Cx
=
Подставим выражение
ln( )
=
в подстановку
y tx
=
:
ln( ).
y x Cx
=
Получили общее решение дифференциального уравнения.
Проверка. Найдём дифференциал общего решения
ln( )
y x Cx
=
:
1
ln( ) ln( ).
dy x Cdx dx Cx dx dx Cx
Cx
= + = + Подставим в исходное уравне-
ние общее решение и его дифференциал:
,
0
)]
ln(
[
)]
ln(
[
=
+
−
+
Cx
dx
dx
x
dx
Cx
x
x
.
0
)
ln(
)
ln(
=
−
−
+
dx
Cx
x
xdx
dx
Cx
x
xdx
Получили тождество.
1.1.17. Решить уравнение
.
0
)
(
)
(
=
−
+
+
dy
x
y
dx
y
x
Решение. Уравнение
( ) ( ) 0
x y dx y x dy
+ + − =
однородное первой
степени. Положим
.
y tx
=
Найдём дифференциал равенства:
.
dy tdx xdt
= +
Подставим значения
y
и
dy
в исходное уравнение:
( ) ( )( ) 0.
x tx dx tx x tdx xdt
+ + − + =
Упростим:
2 2 2
0;
xdx txdx t xdx x tdt txdx x dt
+ + + − − =
2 2 2
0;
xdx t xdx x tdt x dt
+ + − =
2 2
(1 ) ( 1) 0.
x t dx x t dt
+ + − =
Получили урав-
нение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, для чего
разделим все члены уравнения на произведение
2
x
2
(1 ) :
t
+
2
1
0.
1
dx
dt
x t
υ
−
+ =
+
Представим второй член уравнения в виде разности:
2 2
0.
1 1
dx tdt dt
x t t
+ − =
+ +
Проинтегрируем обе части уравнения:
1
2 2
;
1 1
dx tdt dt
C
x t t
+ − =
+ +
∫ ∫ ∫
2
1
1
ln ln(1 ) ;
2
x t arctgt C
+ + − =
2
1
2ln ln(1 ) 2 2 .
x t arctgt C
+ + − =

Страницы