Дифференциальные уравнения. Гиль Л.Б - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

19
Из подстановки
;
y
t
x
=
подставим это значение
t
в полученное
уравнение и положим :2
1
CC
=
;2)1ln(ln2
2
2
C
x
y
arctg
x
y
x =−++
C
x
y
arctg
x
yx
x =−
+
+ 2lnln
2
22
2
или .2)ln(
22
C
x
y
arctgyx =−+
1.1.18. Решить уравнение .0)2( =+− ydxdyxxy
Решение. Уравнение 0)2( =+− ydxdyxxy однородное первой
степени. Подстановка
.
=
Найдем дифференциал функции:
.
dy tdx xdt
= +
Подставим значения
y
и
dy
в уравнение:
(2 )( ) 0.
xtx x tdx xdt txdx
− + + =
Произведём в уравнении упрощения:
2 2
2 2 0;
x ttdx x tdt txdx x dt txdx
+ − − + =
2
(2 1) (2 1) 0.
t t xdx x t dt
− + − =
Разделим переменные в уравнении:
2
(2 1)
0,
(2 1)
xdx t dt
x
t t
−
+ =
−
0.
dx dt
x t
+ =
Интегрируем уравнение:
ln ,
dx dt
C
x t
+ =
∫ ∫
ln ln ln
x t C
+ =
или
,
C
xy
=
или .
x
C
y =
1.1.19. Решить уравнение .0)(sin)(cos =−−+ ydxxdy
x
y
yxdyydx
x
y
x
Решение. Подстановка
.
=
Найдём дифференциал функции:
.
dy tdx xdt
= +
Подставим значения
y
и
dy
в данное уравнение:
( ) ( )
cos sin 0.
tx tx
x txdx x tdx xdt tx x tdx xdt txdx
x x
+ + − + − =
Упростим
уравнение:
(
)
(
)
2 2
cos 2 sin 0;
x t txdx x dt tx t x dt
+ − =
2 3 3
2 cos cos sin 0;
tx tdx x tdt tx tdt
+ − =
(
)
2 3
2 cos cos sin 0.
t tx dx x t t t dt
+ − =

Страницы