Дифференциальные уравнения. Гиль Л.Б - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

21
Решение. Выделив
явно
производную
,
разделив
обе
части
уравне
-
ния
на
x
,
убеждаемся
,
что
уравнение
является
однородным
:
.
y y
y tg
x x
′
= +
Функция
в
правой
части
является
однородной
,
нулевого
измерения
вида
.
y
f
Делаем
постановку
,
y
t
x
=
,
y t x t
′ ′
= +
,
t x t t tgt
′
+ = +
.
dt
x tgt
dx
=
Получили
уравнение
с
разделяющими
пере
-
менными
.
Разделяем
переменные
,
положив
0,
tgt
≠
и
интегрируем
:
,
dt dx
tgt x
=
cos
sin
tdt dx
t x
=
∫ ∫
,
sin
ln ln
sin
d t
x C
t
= +
∫
, (
здесь
удобно
произволь
-
ную
константу
представить
в
виде
ln
С
),
ln sin ln ln ,
t x c
= +
sin .
y
Cx
x
=
Проверим
,
не
произошла
ли
потеря
решения
при
разделении
перемен
-
ных
.
Исследуем
уравнение
0,
tgt
=
0.
y
tg
x
=
Его
решение
,
y
n
x
π
=
.
y x n
=
Но
это
решение
можно
получить
из
общего
,
положив
0
C
=
,
т
.
е
.
особое
решение
отсутствует
.
Итак
,
общий
интеграл
:
sin .
y
Cx
x
=
1.1.22. Найти
общий
интеграл
уравнения
0)(
22
=
⋅
−
+
dyxydxyx
.
Решение. Разрешим
уравнение
относительно
производной
:
dx
dy
xy
yx
y
22
+
=
′
.
Поделив
числитель
и
знаменатель
правой
части
уравнения
на
2
x
, получим
x
y
x
y
y
2
1
+
=
′
(*),
т
.
е
.
y
′
есть
функция
отношения
x
y
.
Это
означает
,
что
данное
уравнение
–
однородное
.
Для
решения
этого

Страницы